湖北省荆门市2023届龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中三校高三下学期5月联考数学试题 答案

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5月三校联考数学第 1页 共2页
2023 年高三下学期 5月三校联考
高三数学参考答案
一、单项选择题： 1-4 DABC 5-8 CBCB
二、多项选择题： 9．ACD 10．ABC 11．BCD 12．BC
三、填空题 13.
23
14.
13m
15.
3
2
16.
1
4
；
165
512
四．解答题
17．解：（1）当
1n
时，
22a
，当
2n
时，递推得
，
∴
22
121
n n n
a a a
 
，
 
2
22
1+2 1= 1
n n n n
a a a a
 
，因为数列
 
n
a
各项均为正数，所以
11
nn
aa

，又∵
21
1aa 
，
∴数列
 
n
a
为等差数列，故
11
n
a a n n  
．…….……………………………………………5分
（2）由
sin 2
n
bn
n

得，
 
43
43
4 3 sin 4 3
2
k
bk
kk
 
，
 
42
42
4 2 sin 0
2
k
bk
k
 
，
   
41
41
4 1 sin 4 1
2
k
k
kkb
 
，
40
k
b
；
令
4 3 4 2 4 1 4 2
k k k k k
c b b b b
 
  
，
则
 
100 1 2 3 100 1 2 25
+ =25 -2 =-50T b b b b c c c     
．………………………………10 分
18．解：（1）
11
( ) , ( )
4 13
P A B P B A∣∣
，
1 1 1 13
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )
4 5 13 20
P A B P B P B A P A P A P A    ∣∣
，
 
7
20
PA
，………………………………………………………………………………………4分
而
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A B P B P A B   ∣∣
   
7 4 1 3 1
20 5 5 4 4
ABPABP    
，……………………………………………………8分
（2）
不够良好
良好
总计
患有该病
ka
kb
 
k a b
未患该病
kc
kd
 
k c d
总计
 
k a c
 
k b d
 
k a b c d  
 
     
2
22
'2 k a b c d k ad k bc
k a b k c d k a c k b d

 

  
 
 
2
()2.64 10.828 4.10
k a b c d ad bc kk
a b c d a c b d
 
 
   
，故
min 5k
.………………………12 分
19．解：（1）
3
cos cos cos cos cos
b c a a
B C A B C
 
，
 
cos cos cos cos cos 3cosb C c B A a B C A 
，……………………………………………1分
由正弦定理得
 
sin cos sin cos cos sin cos cos 3cosB C C B A A B C A 
，
 
sin cos sin cos cos 3cosB C A A B C A 
，………………………………………………3分
0A

，则
sin 0A
，故
cos cos 2cos 0B C A
，………………………………………4分
即
 
cos cos 2cos 0B C B C  
，
2sin sin cos cosB C B C
，
即
1
tan tan 2
BC
．……………………………………………………………………………………6分
（2）由
1
tan tan 2
BC
知，
,BC
均为锐角，
故
 
tan tan
tan tan 2 tan tan 4 tan tan 2 2
1 tan tan
BC
A B C B C B C
BC
       

，
当且仅当
2
tan tan 2
BC
时，等号成立．
故
tan A
的最大值为
22
．………………………………………………………………………12 分
20．解：（1）因为四边形
11
AA B B
为菱形，所以
11
A B AB
，
平面
11
AA B B
平面
ABC
，平面
11
AA B B
平面
,ABC AB AC
平面
,ABC AC AB
，
所以
AC
平面
11
AA B B
，……………………………………………………………………………2分
又
1
AB
平面
11
AA B B
，所以
1
AC A B
，
又
1
AB AC A
，所以
1
AB
平面
1
B AC
，
又
1
BC
平面
1
B AC
，所以
11
A B B C
．…….……………………………………………………5分
（2）l上存在点 P，使 A1B与平面 ABP所成角的正弦值为
10
10
，且
12B P
．理由如下：
取
11
AB
中点 D，连接
AD
，因为
160ABB  
，所以
11 60AA B  
，
又
11
AA AB
，所以
11
AAB
为等边三角形，所以
11
AD A B
，
因为
11
//A B AB
，所以
AD AB
，
又平面
11
AA B B
平面
ABC
，平面
11
AA B B
平面
,ABC AB AD
平面
11
AA B B
，
所以
AD
平面
ABC
，……………………………………………………………………………6分
以A为原点，以
,,AB AC AD
方向分别为 x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系
A xyz
，
11
(0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), ( 1,0, 3), (1,0, 3)A B C A B
，
1
(0,2,0), (2,0,0), (1,0, 3)AC AB AB 
．
因为
11
// ,AC AC AC
平面
1 1 1 1 1
,ABC AC
平面
1 1 1
A B C
，所以
//AC
平面
1 1 1
A B C
，
又
AC
平面
1
AB C
，平面
1 1 1
A B C
平面
1
ABC l
，所以
//AC l
，
假设 l上存在一点 P，使
1
AB
与平面
ABP
所成角为
30
，设
 
1RB P AC


，…………8分
则
1(0,2 ,0)BP
，所以
11 (1,2 , 3)AP AB B P
 
，
设
( , , )n x y z
为平面
ABP
的一个法向量，
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