湖北省华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三第二次学业质量评价检测数学试题答案--数学
1
华中师大一附中 2023 届高三第二次学业质量评价检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
D
D
C
C
ACD
AC
BC
ACD
三、 填空题
13.
2
3
14.
23+
15.
3
3
16.
2
2,1
21
e
e
−
选择题与填空题详解：
1．方程的
484 −=−=
，则
i
i
z=
=1
2
22
，所以
2=z
，故选 B
2．由题意，
Z 10M x x= ∣0
，
2
log 1Z 00N x x =∣
，∵
2
6 log 100 7
，∴
7,8,9MN=
，故选 C
3.易知函数
( )
fx
的定义域为
01x x x 且
，
1
1
)(,
1
1
)( −−
=−
−
=e
ef
e
ef
，
)()()()( efefefef −− 且
，所以函数
( )
fx
为非奇非偶函数，排除 A；易知当
1x
时，
( )
0fx
，故排除 C；
因为
12
2 3ln 2
f
−=
，
12
2 ln 2
f
=
，所以
11
22
ff
−
，所以排除 D．故选 B．
4．由题意可得正方体外接球的直径
34=AB
，设点 O为正方体外接球的球心，则 O为AB 的中点，
OB OA=−
22 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) (2 3) 2 (2 3) 8PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO = + + = + − = − − = −
故选︰A．
5．∵
( ) sin( ) sin ( )f x x x x x f x− = − − = =
，∴
()fx
是偶函数．当
0, 2
x
时，
( ) sin cos 0f x x x x
= +
，
∴
()fx
在区间
0, 2
上单调递增，∵
()fx
是偶函数，∴
()fx
在区间
,0
2
−
上单调递减，∴由
12
( ) ( )f x f x
可
得
12
xx
，∴
22
12
xx
，故选 D.
6．由题意
1
AF AB⊥
，且
1
15
3
cos BF
AB
ABF ==
， ∴
11
: : 3:4:5AB AF BF =
，可设
3AB k=
，
14AF k=
，
15BF k=
由
1 1 2 2 1 1 4AB AF BF AF BF AF BF a+ + = + + + =
，则
4 3 5 4k k k a+ + =
，即
3ka=
，
∴
12
42
= = =
33
AB a AF a AF a， ，
，∴
22
1 2 1 2
25
==
3
F F AF AF a+
，∴
25
25
3
==
2 2 3
a
c
eaa
=
，故选 D.
7．设该正四棱台上、下底面的中心分别为
1
OO，
，设
11 42AB AB x==
，高
1
OO h=
，
作
1
AH AC⊥
，则
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
11 11
2 2 2 , 4 4 2 2
22
AO x x x AO x x x= + = = + =
.在梯形
2
11
AOOA
中，
22222
1
22
1212)222(12 xhhxxHAAHAA −=+−=+=
，所以该四棱台的体积为
()
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
1 28 28 28 12 2 28
16 16 4 4 12 2 12 2 (12 2 ) ( ) 8
3 3 3 3 3 3
x x x
V x x x x x x x x x x + + −
= + + − = − = − =
当且仅当
22
32xx=−
，即
2=x
时取等号，此时
1 1 1
8, 4, 2AB AB OO= = =
.
取
11
CD
的中点
N
，连接
NM
、
ND
，显然有
11
/ / / /MN D B DB
，
MN
平面
ABCD
，
BD
平面
ABCD
，所以
//MN
平面
ABCD
，因此平面
MBDN
就是截面.
11
12 2, 8 2
2
MN B D BD= = =
，设 MN 与
11
AC
交于点 R，则
2 2 2 2
11
= 2 ( 2) 6OR OO O R+ = + =
，所以梯形
MBDN
的面积为
2 2 8 2 6 10 3
2
+=
，故选 C.
8.由题意可得
( )
21cos 2
nn
f x x a x a
+
= − + +
有唯一的零点，∵
( )
fx
为偶函数，
∴
( )
00f=
，即
12
nn
aa
+−=
，
*
Nn
，所以数列
n
a
是公差为
2
的等差数列，
又∵
)
6
1
(sin12)cos(
2
1
)sin(
2
3
12)( −+=−+= xxxxxxg
，
1 1 1
( ) 12 ) sin ( )
3 3 6
g x x x
− = − + −（
，
∴
1
( ) ( ) 4
3
g x g x+ − =
，∴函数
()gx
的图像关于点
1
( ,2)
6
对称. 又∵
( ) 12 cos ( ) 0
6
g x x
= + −
，∴
()gx
在
R
上
单调递增. 由题意可得
18)5()()()()()()()()( 64738291 =++++++++ gagagagagagagagag
，
）对称关于（ 2,
3
1
)(xg
，
564738291 2aaaaaaaaa =+=+=+=+且
，下证
( ) ( )
19
4g a g a+=
.
即证
19
( ) 4 ( )g a g a=−
，即证
19
1
( ) ( )
3
g a g a=−
，∵
()gx
在R上单调递增，∴即证
19
1
3
aa=−
，即证
19
1
3
aa+=
，
若
19
1
3
aa+
，则
19
1
3
aa−
，∵
()gx
在R上单调递增，∴
1 9 9
1
( ) ( ) 4 ( )
3
g a g a g a − = −
，∴
( ) ( )
19
4g a g a+
同理可得
( ) ( )
28
4g a g a+
，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 7 4 6 5
4, 4,2 4g a g a g a g a g a+ +
，∴
( ) ( ) ( )
1 2 9 18g a g a g a+ ++
，不满足
题意; 若
19
1
3
aa+
，同理可得
( ) ( ) ( )
1 2 9 18g a g a g a+ ++
，故
19
1
3
aa+=
，∵
1 9 5
2a a a+=
，∴
51
6
a=
，故选 C
9.∵
2
288 (33 7 10 38) 0.837 2.706
43 45 71 17
−
=
，∴根据小概率
0.1
=
的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没
有差异。数据扩大 10 倍的 2×2列联表为
学校
数学成绩
合计（单位：人）
不优秀
优秀
甲校
330
100
430
乙校
380
70
450
合计（单位：人）
710
170
880
根据扩大 10 倍之后列联表中的数据，经计算得到
2
2880 (330 70 100 380) 8.365 2.706
430 450 710 170
−
=
，∴根据小概率
0.1
=
的独立性检验，两校的数学成绩优秀率有差异，该推断犯错误的概率不超过 0.1，但
28.365 10.828
=
，
3
根据小概率
0.001
=
的独立性检验，两校的数学成绩优秀率没有差异。故选：ACD
10．设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别为
( ) ( ) ( )
1 2 3
sin si i, s,nnx x xf x g x h x
= = =
，
则
1 2 3
2π2π π 2π
,,
33 28 14 23
= = = =
，
A项，第 35 天时，
( )
π5π π
sin 35 sin sin 2π15 2
314 2
g
= = + =
=
，故 E处于最高点，
A正确；B项，设
( ) ( ) ( )
2π π
sin sin
33 14
xxF x f x g x− −==
，因为
( )
33π5π
sin2πsin sin 03 14
314
F== − −
，
( )
28π6π
sin sin3π=sin 04 11 1
21
F=−
，由零点存在性定理可得存在
( )
033,42x
，使得
( )
00Fx =
，故此时智力曲线 I
与情绪曲线 E相交，B错误；C项，当
( )
46,50x
时
2π100π
4π,
23 23
x
，因为
100π9π
23 2
，所以根据正弦函数的性质
可得此时
( )
2π
sin 23 xhx=
单调递增，故处于上升期，C正确；D项，因为
0)320
23
2
sin()320(=
h
，所以体力曲线
P不关于(320,0)对称，D错误，故选 AC
11.
异面直线
a
与直线
b
所成角为
60
，
过点
P
与直线
,ab
所成角均为
60
的直线有 3条，故选项 A错误；
平面
与平面
所成的二面角为
80
，
平面
与
的法向量
m
与
n
的夹角为
80
或
100
，
过点
P
的直线
l
与平
面
,
所成角都是
30
，
直线
l
与法向量
,mn
所在直线所成的角均为
60
，这样的直线有 4条，故 B正确；
同理可判断选项 C正确；
过点
P
与平面
成
60
角的所有直线，形成以 P为顶点，与圆锥中轴线夹角为
30
，且
底面在
上的圆锥的母线， 与直线 a成
60
的所有直线，形成以 P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为
60
的圆锥的母
线，两个圆锥相交于两条母线，
满足条件的直线有且只有 2条，故 D错误.故选 BC
12．
1
1
1
1
11
nn
n
n n n n
nn
nn
n
nn
ab
b
a a a b
ab
ba
abb
+
+
+
+
= = =
+
+
，∴
21
21
n n n
n n n
a b a
b a b
++
++
==
，∴
4, 2 1,
1, 2 ,
4
n
n
n k k N
a
bn k k N
= −
==
，∴
3
2
23
17
4
a
a
bb
+=
，
故A正确；
100 100 100 100
100 100 100 10
22
0
1 17
=4
44
a b a b
a b b a
+= + + =
，故 B错误；
由题意得：
11 1 1 1 1
2 2 2 4
n n n n n n n n
n n n n n n
a b b a a b a b
a b a b a b
++
= + + = + + + =
，当且仅当
1
nn
nn
ab ab
=
时，取等号；所
以
4
nn
ab
，即
11
04
nn
ab
，所以
100 100 99 99 98 98
99 99 98 98 99 99
1 1 1
2 2 2a b a b a b
a b a b a b
= + = ++++
11
1 1 2 2 99 99 2 2 99 99
1 1 1 1 1
... 2 99 + + =200+ 200ab a b a b a b a b a b
= = + + + + +
，
又∵
1
4
nn
ab
，∴
100 100 1 449
200 98
42
ab + =
，故 C正确；
∵
11 11 1
)( ) ( ) ( nn
n n n n n n
n n n n
ab
a b b a b a
a b a b
++
+
= − = + − + −
，
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