湖北省鄂东南省示范性高中2022-2023学年下期中联考高二数学试题参考答案20230410

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2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共 8 页）第 1页

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2023 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高二数学参考答案

ABD

13. 0 14. 16 或

20

15. 45 16.



, 4

8. 【详解】已知函数

 

x kkf x x

 

，则

 

0 ex

f x kx x k

  

有且只有一个负整数解.

令

 

g x x 



，则

 

( 1)ex

g x x 

 



，当

1x 

时，

 

0g x



，当

1x 

时，

 

0g x



，

所以

 

g x

在

 

, 1 

上递减，在

 

1, 

上递增，当

1x 

时，

 

g x

取得最小值

1

设

   

1h x kx k k x   

，则

 

h x

恒过点

 

1,0

在同一坐标系中分别作出

 

y g x

和

 

y h x

的

简图，显然

01x 

，

依题意得

   

1 1g h  

且

   

2 2g h  

即

1 2a  

且

ea  

，解得

2 1

3e 2

a 

故选：A.

10．【详解】因为

1( 2)

n n

S a n 

，所以，

1 1

1( 3)

n n

S a n

 

 

，两式相减得：

1 1

( 3) ( 2)

3 3

n n n

a a n a n

 

   

，即

n n

a a





，

故

1 4 3 2 ( 1)

1 2 2 1

n n

a n n

n n



     

  

，

1( 1)( 2) ( 1) 2 2

n n n

b a a n n n n n



        

，故数列

 

为二阶等差数列，故 A正确；

对数列

 

，它的一阶差数列为

 

a

，为二阶等差数列，故

 

为三阶等差数列，故 B正确；

1 1 1 1

( 1) 1

a n n n n

  

 

，故

 

 

 

的前 n项和为

n

，故 C错误；

对数列

 

，它的一阶差数列为

 

b

，为 k阶等差数列，故

 

为(k+1)阶等差数列，

故D正确．

故选：ABD

11. 【详解】由于

3 3

( ) ( ) 3 2 3 2 4f x f x x px q x px q q        

，故对称中心为(0,2q)，A选

项正确；

( ) 3 3f' x x p 

，当

( ) 0f' x 

时，

x p  

，其中

p

为极小值点，

p 

为极大值点，其

中

( ) 2 2f p p p q   

，

( ) 2 2f p p p q     

，由于

3 2 0p q 

，当

0q

时

( ) 0f p 

，当

0q

时

( ) 0f p  

，两种情况下均只有两个零点，B选项正确；

当

0q

时

0 4k q 

，当

0q

时

4 0q k  

，C选项错误；

由于

( )f x k

的三个零点分别为 x1,x2,x3

故

1 2 3

( ) ( )( )( )f x k x x x x x x    

，

即

3 3 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

3 2 ( ) ( )x px q k x x x x x x x x x x x x x x x          

故

1 2 3 0x x x  

因此

333

1 2 3 1 2 3

3 3 3 6 3x x x px px px q k       

，D选项正确.故选：ABD

12．【详解】令

 

1 lnf x x x  

，则

 

1 1

f x x x



  

，

当

1x

时，

 

0f x



，当

0 1x 

时，

 

0f x



，

故

 

1 lnf x x x  

在

 

0,1

上单调递减，在

 

1, 

上单调递增，

故

 

1 lnf x x x  

在

1x

处取得极小值，也是最小值，

 

min 0f x 

，

故

ln 1 x x

，当且仅当

1x

时等号成立，

A选项：n=1 时不等式左右两端相等，故 A错误；

B选项：将

ln 1 x x

中的

替换为

1x

，可得

 

ln 1 1 1x x x     

，

1x

，

当且仅当

0x

时等号成立，

令

10xn

 

，可得

1 1

ln 1 n n

 

  

 

 

，

所以

 

ln ln 1n n n

  

，

故

 

1 1 1

ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln ln 1 2 3

n n n

           

，

其中

 

ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln ln 1 ln ln1 lnn n n n         

，

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2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考高二数学参考答案（共 8 页）第 4页

所以

1 1 1

ln 2 3

   

，B正确；

C选项：将

ln 1 x x

中的

替换为



，显然

1 1

 

，

则

2 2

ln 1 i i

n n

 

 

 

 

，

故

2 2 2 2

1 2 ( 1)

ln 1 ln 1 ln 1 2

n n n

n n n n



     

      

     

     



，

当

2n

时，

( 1) 1 1 3

2 2 2 4

n n

  

，故

2 22

1 1 21 e

n n n

    

   

    

    



成立；

当

1n

时，

1 1 3

4 4 4

2 16 (e ) e  

显然成立，

故

2 2

1 e

1 1 n

n n n

    

   

    

    



，C正确；

D选项：将

ln 1 x x

中的

替换为



，其中，

Nn

且

2n

，则

ln 1 1n

n n

 



，

则

ln 1nn

 

，故

1 1



  

 

 

，

则

2 3 1

2 3

nnn



     

  

     

     





，又

2 3

1 2 1 1

2 3 2 e

   

  

   

   

，D错误.

故选：ABC

15. 【详解】设

1 2 3

, ,a a a

对应个位到百位上的数字，则

3Na

，

N( 1, 2)

a i 

且

1 2 3 9a a a  

，

相当于将 9个表示 1的球与 2个表示 0的球排成一排，即 10 个空用 2个隔板将其分开，故共

C 

种.故答案为：45.

16. 【详解】函数

 

ln( e 4 8)

f x a x    

的值域是实数集 R，则

 

e 4 8

g x a x    

能

取遍

(0, )

内所有的数.



 

e 4

g' x a  

，

当

0a

时，

 

0g' x 

，函数值域恒为 R；

当

0a

时，令

 

e 4 0

g' x a   

，则

lnxa



，

 

g x

在

( ,ln )



上单调递减，在

(ln , )

a

上单调递增，



 

g x

的最小值为

4ln 4l 4

gaa

    

 

 

，



4ln 4 0

  

成立，令

( ) 4ln 4

h a a

  

，

( )h a

在

(0, )

上单调递增且

(4) 0h

，故

0 4a 

综上：

4a

17．(1)40 (2)30240

【详解】(1)八个人坐两台车，只需要考虑 A车坐的人，先选一位老师坐入 A车，共

种选法，再选

三名学生坐入 A车，共

种选法，因此共有

1 3

2 6

C C 40

种分配方

式； …………5 分

(2)先让 6名学生排队，共

种方法，然后两名老师插入 7个空隙，共

种方法，因此共有

6 2

6 7

A A 30240

种站法. ……………10 分

18．【详解】（1）

 

222

'x x

x x a x x a

f x e e

     

 

，

 

f x

有一个极值点是

1

   

1 2 1 0 3a a        

，

即

 

f x e





又

    

21 3

2 3

'x x

x x

f x e e

  

  

 

，

 

, 1 

1

 

1 3，

 

3, 

 

'f x



 

f x

单调递减

 

1 2f e  

单调递增

 

f

单调递减

 

1x f x  当时，

有极小值，极小值为

 

1 2f e  

当x = 3 时，

 

f x

有极大值，极大值为

 

3fe



. ……………6 分

（2）由（1）知，

 

 

2f x 在，-1

上递减，[-1，3]上递增，[3，4]上递减，

又

   

3 4

6 13

2 4 2f e f e

e e

     ，

，

 

 

2,4f x 在

上的最大值为

 

2f e 

 

 

2,4f x 在

上的最小值为

 

1 2f e  

.……………12 分

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