湖北省鄂东南联盟2023年五月模拟 数学参考答案

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鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2023 年五月模拟考
高三数学参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
A
D
A
B
AD
ABD
ABD
ACD
填空题
13．
14．
7
7
15．
(0,1)
16．1；4
小题详解
1．C【解析】
2
{ | 2 3 0} { | 1 3}A x x x x x  
，
{ | ln( 1)} { | 1}B x y x x x  
，
{ | 1
UA x x  ð
或
3}x≥
，
{ | 1}
UxB x ð
，
U
A BÚð
，
UA BðÚ
，
A B U
，
( )
UA B Uð
，
故选 C．
2．B【解析】已知
2 i(i
是虚数单位）是关于
x
的方程
20( , )x bx c b c R
的一个根，
则
2
(2 i) (2 i) 0b c  
，即
4 4i 1 2 i + 0b b c  
，即
3 2 0
4 0
b c
b
 
 
，解得
4
5
b
c
 
，
故
1b c 
，故选 B．
3．D【解析】
| | 2a
，
| | 1b
，且
| 2 | 10a b 
，
2 2 2
| 2 | 4 4 10a b a a b b 
 
 
，即
4 4 4 10a b  
 
，
1
2
a b  
，
b
在
a
方向上的投影向量为
2
1
| | cos , | | 8
| | | || | | | | |
a a b a a b
b a b b a a
a a b a a
 
   
 
 
 
，故选 D．
4．C【解析】函数
( ) sin(2 )f x x
 
的图象向左平移
3
个单位，得
2
( ) sin(2 )
3
g x x
 
的图象，
又函数
( )g x
是偶函数，
2
3 2
k
 
 
 
，(
kZ
),
6
k
 
 
，
kZ
；
3
tan t 6
an( ) 3
k
 
 
，
故选 C．
5．A【解析】在
AMB△
中，由勾股定理可得：
2 2 2 2
800 600 1000AB AM BM  
米，连接
PO
，
则在
APO△
中，
sin 42 670PO AP  
米，连接
OB
，
OC
，
OM
，则在
OBM△
中，
600 60
sin 670 67
BM
BOM BO  
， 故
1.1BOM 
，
2.2BOC 
，则彩虹（
BPC
）的长度约为
(2 2.2) 670 1340 1474
 
 
，故选 A．
6．D【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件
A
，“两名女生不在同一岗位”为事件
B
，则
24
2 3 1 2 2
2 5 4
5 1 2 2
6 5 4 2
4 5 6 2
( ) 6 5 6 3
C C C C C
P A C C C C
 
 
 
，
2 3 1 2 2 1 1
2 5 4 2 2 3
5 1 2 2
6 5 4 2
4( ) 8
15
4 24
( ) 656
C C C C C C C
P AB C C C C
 
 
，
( ) 8 4
( | ) =
( ) 15 5
3
2
P AB
P B A P A
 
，故选 D．
法二：
3 1 2 2 1 2 2
2 5 4 2 3 5 4 2 3
3 1 2 2 1 2 2
2 5 4
1
2
2 1 1 1
4 2 2
2
5 44 2
( )
5
( ) ( )
( | ) =
( )
24 4
30( )
C C C C C C C C
P AB n AB
P B A P A C
C C C C
C C Cn C CA C C
 
 
．
7．A【解析】由题意可得
2
( ) 2 6 0g x x ax a   
有解，所以
28( 6) 0a a 
，
解得
4a
或
12a
，
当
12a≥
时，必有
1
4
(1) 2 6 0
a
g a a
   
，解得
12a≥
；
当
4a≤
时，必有
1
4
( 1) 2 8 0
a
g a
 
 
，不等式组无解，
综上所述，
12a≥
，
a
的取值范围为
12 +，
，故选 A．
8．B【解析】设此正三棱锥框架为
P ABC
，球
1
O
的半径为
R
，球
2
O
的半径为
r
，底面
ABC
外接
圆的圆心为
O
，连接
PO
，
AO
，延长
AO
交
BC
于点
N
．
圆气球
2
O
在此框架内且与正三棱锥所
有的棱都相切，设球
2
O
与棱
PA
和
BC
相切于点
M
，
N
，则
32 3 2
3
AO  
，
32 3 2 1
2
ON  
，
PO
底面
ABC
，
PO AO 
，又
2 2PA
，
8 4 2PO  
，
在直角三角形
2
OO N
中，
2
21OO r 
，
1 2 2r 
，
在直角三角形
2
PMO
中，
2
PM MO r 
，
22PO r
，
由
2 2
PO PO OO 
，可得
2
2 2 1r r  
，解得
2 2 3r 
，
则球
2
O
的表面积为
2 2
4 4 (2 2 3) (44 16 6)r
 
 
，
又
2OA OB OC OP   
，则
O
与
1
O
重合，球
1
O
的半径
2R
，球
1
O
的表面积为
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2 2
4 4 2 16R
 
 
，综上可得：两球表面积之和为
(44 16 6) 16 (60 16 6)
 
 
，故选 B．
9．AD【解析】对于 A选项，平面
EFG
截正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的截面图形
为正六边形
EFGHIJ
，其中
, ,H I J
分别为
1 1
C D
，
1 1
A D
，
1
AA
的中点，
1 1
AC
/ /
HI
，
HI
平面
EFGHIJ
，
1 1
AC
平面
EFGHIJ
，
1 1
A C
/ /
平面
EFGHIJ
，故 A正确；
对于 B选项，过
P
作
PM AD
交
AD
于点
M
，则直线
CP
和平面
ABCD
所成的
角为
PCM
，
tan PM
PCM CM
 
，设
PM x
，正方体的棱长为 1，
则
2
2
1
tan 1 1
1
PM x
PCM CM x
x
 
，（
0 1x≤ ≤
），
2
tan 0, 2
PCM  
 
 
，
直线
CP
和平面
ABCD
所成的角不为定值，故 B错
误；
对于 C选项，
1
BC
平面
1 1
A B CD
，
1
BC
/ /
FG
，
FG
平面
1 1
A B CD
，
又
CP
平面
1 1
A B CD
，
CP FG 
，故 C错误；
对 于 D选项，设
IJ
1
A D M
，
FG
1
B C N
，则平面
1 1
A B CD
平 面
EFGHIJ
MN
，
/ /CP
平面
EFG
，
CP
平面
1 1
A B CD
，
/ /CP
MN
，又在平面
1 1
A B CD
内，易
知
1 1
1
4
A M A D
，
1
1
4
CN CB
，
点
P
为线段
1
A D
的中点，故 D正确，故选 AD．
10．ABD【解析】对于 A选项，由题意知，
,a b
是函数
1
( ) 1
1 1
x
h x x x
 
 
分别与函数
( ) 2x
f x
，
2
( ) logg x x
图象交点的横坐标，
( )f x
，
( )g x
两个函数的图象关于直线
y x
对称，
( )h x
的图象
也关于
y x
对称，故两交点
( , 2 )
a
a
，
2
( ,log )b b
关于直线
y x
对称，所以
2
loga b
，
2a
b
，故 A
正确；对于 B选项，由
2
1
a
ab
a 
可得
ab a b 
即
1 1 1
a b
 
，故 B正确；对于 D选项，
1 1
( )( ) 2 4
b a
a b a b a b a b
   
，故 D正确；对于 C选项，
2
log (2 4)a b b b b 
，令
2
( ) logb b b
 
，则
1
( ) 1 0
ln 2
bb
 
，
2
( ) logb b b
 
在
(2, 4)
上单调递减，则
2
( ) log 4 4 2b
 
，故 C错误，故选 ABD．
11．ABD【解析】对于 A选项，由已知可得
1, 2a b 
，
C
的渐近线方程为
2y x 
，故 A正确；
对于 B选项，由题意得，
AM
的直线方程为：
0
01
4
y y
x x  
，
AM
为双曲线的切线，由双曲线的
光学性质可知，
AM
平分
1 2
F AF
，故 B正确；对于 C选项，延长
1
F H
，与
2
AF
的延长线交于点
E
，
则
AH
垂直平分
1
F E
，即点
H
为
1
F E
的中点．又
O
是
1 2
F F
的中点，
 
2 2
1 1
2 2
OH F E AE AF 
 
1 2
11
2AF AF a  
，故 C错误；
对于 D选项，
1 2 1 2 1 2
AF NF AF F NF F
S S S 
V V
1 2 0
0
1 4
2F F y y
 
 
 
 
 
0
0
1 4
2 5 2 4 5
2yy
 ≥
，
当且仅当
0
0
4
yy
，即
02y 
时，等号成立．
四边形
1 2
AF NF
面积的最小值为
4 5
，故 D正确，
故选 ABD．
12．ACD【解析】对于 A选项，
2 2 2 2
( ) sin ( ) cos ( ) cos sin ( )
2 2 2
n n n n
n n
f x x x x x f x
 
   
，
故A正确；对于 B选项，当
1n
时，
1( ) 1f x
．当
1n
时，设
2
sin x t
，则
2
cos 1x t 
，令
 
( ) (1 ) , 0,1
n n
h t t t t  
，
1 1 1 1
( ) (1 ) (1 )
n n n n
h t nt n t n t t
 
 
 
 
，
1
02
t 
时，
0 1 1t t  
，
1 1
(1 )
n n
t t
 
 
，
( ) 0h t
，
11
2t 
时，
( ) 0h t
，
min 1
1 1
( ) ( )
2 2n
h t h
 
，即
1
1
2
nn
a
，
1 2 3
1 1 7
12 4 4
a a a  
，故 B错误；对于 C选项，由
ln( 1)x x≤
得
ln(1 )
i i
a a 
，
1
1 1
1
11
2
ln(1 ) 2 2
12
12
n n n
i i n
i i
a a
 
 
 
，故 C正确；
对于 D选项，
1 1
1 2 1
1 1 2
n n n n
n n n n
 
   
，
2 1 2n n n 
，
1 1
2 1 2
2 2
n n
n n n
 
 
 
，
1 2 1
1 2
2 2 2
n n n
n n n
 
 
 
，又
1
2
nn
n
b
，
1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1
1 2 2 3 3 4 1 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
nn n n n
n n n n
S  
 
     
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2
1
4
2 2 2 2 4
2
2n
nb
n
 
 
，即有
*
2
2 2 4 ( )
n n
S b n
  N
，故 D正确，故选 ACD．
13．
16
【解析】
2
~ ( , )N
 
，
( 14) ( 18 0.1 0.9 1P P
 
  ）
，
( 14) 1 ( 18 ( 18)P P P
 
  ） ≥
，
14+18 =16
2
 
．
14．
7
7
【解析】根据题意，圆
2 2
: 4 3 0C x y x  
即
2 2
( 2) 1x y  
，若
ABC
为直角三角形，
则有
2
| 2 | 2
2
1
k
k
，解得：
7
7
k 
．
15．
(0,1)
【解析】记
( ) ln (0 1)g x x x 
，
( ) ln ( 1)h x x x≥
，
由函数
( )f x
图象可知，不妨设
1
l
与
( )g x
相切于点
1 1
( , ln )A x x
，
2
l
与
( ) lnh x x
相切于点
2 2
( ,ln )B x x
，
则
1 2
0 1, 1x x 
．
1
( )g x x
 
，
1
( )h x x
，
1
1
1
l
kx
 
，
2
2
1
l
kx
，
1 2
l l
，
1 2
1 1 1
x x
 
，即
1 2 1x x
，
1
l
的方程为：
1 1
1
1
ln ( )y x x x
x
 
，
2
l
的方程为：
2 2
2
1
ln ( )y x x x
x
 
，联立方程组可求得点
Q
的横坐标
1 2
2
Q
xx x
，
1 2 1x x
，
1 2 1 2
2 2x x x x 
，
0 1
Q
x 
，即
Q
点横坐标的取值范围是
(0,1)
．
16．1；4【解析】设
( , )N x y
，
1
(A x
，
1)y
，
2
(B x
，
2)y
，
1
4
OA OB
k k  
，
1 2
1 2
1
4
y y
x x
 
，
1 2 1 2
4 0x x y y 
，
ON OA OB
 
 
 
，
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , )x y x y x y
 
 
，
1 2
1 2
x x x
y y y
 
 
 
 
，
( , )N x y
在椭圆上，
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 4x x y y
 
 
．
即
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( 4 ) ( 4 ) 2 ( 4 ) 4x y x y x x y y
  
   
．①
又
2 2
1 1
4 4x y 
，
2 2
2 2
4 4x y 
，代入①得
2 2 1
 
 
．
=3
ON OA OB OM OB
 
 
   
，由
, ,M N B
三点共线，得
+ =1
3
，
3 4
= =
5 5
 
，
，
1 4
5 5
ON OM OB 
 
，
1 4
=
5 5
MN NB 
，
| | =4
| |
MN
BN
．
解答题
17．（10 分）
【答案】（1）
3
2
；（2）
3
2
【解析】（1）在
ABC
中，由余弦定理得
2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC  
，
2
7 1 BC BC  
，解得
2BC
，
1 1
sin 1 2
2 2 2
3
2
3
ABC
S AB BC ABC
   
．·················5 分
（2）设
CAD
 
，
在
ACD
中，由正弦定理得
sin sin
AC CD
ADC CAD
 
，
2 3
sin
sin 3
AC
①， ·················6 分
在
ABC
中，
2
BAC
 
，
6
BCA  
，
则
sin sin
AC AB
ABC BCA
 
，即
1
2
sin sin( 6)
3
AC
 
②， ················ 8 分
由①②得：
sin( ) sin ,2 3 6
 
 
3 1
2 3( sin cos ) sin
2 2
 
 
，
整理得
2sin 3 cos
 
，
3
tan 2
CAD 
．·················10 分
18．（12 分）
【答案】（1）
n
a n
；（2）证明见解析
【解析】（1）
22 2
n n n
a a n S  
，当
2n
时，
2
1 1 1
2 ( 1) 2
n n n
a a n S
 
 
，
两式相减得：
2 2
1 1
2 2 1 2
n n n n n
a a a a a
 
 
，整理得
2 2
1
( 1)
n n
a a
 
，················ 4 分
0
n
a
，
11
n n
a a
 
(
2n
)，当
1n
时，
2
1 1 1
2 1 2a a a  
，
11a  
（舍）或
11a
，················ 5 分
{ }
n
a
是以
1
为首项，1为公差的等差数列，则
n
a n
；················· 6 分
（2）由（1）知，
3 1
n
n
b 
，
1 1
3 1 1 1
( )
(3 1) (3 1) 2 3 1 3 1
n
nn n n n
c 
 
 
················ 8 分
1 2 2
1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
n
nn
c c c
 
 
 
 
1 1
1 1 1 1 1
( )
2 2 3 1 4 2(3 1)
n n 
 
 
，
湖北省鄂东南联盟2023年五月模拟 数学参考答案.pdf

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