湖北省部分重点中学2024届高三第一次联考数学试题答案

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湖北省部分重点中学 2024 届高三第一次联考
高三数学试卷(答案）
一、单选题 1-8 A D A A C B B D
二、多选题 9.BCD 10. ABD 11.ACD 12.BCD
三．填空题
13. −√𝟑
𝟑 14.0 15. (−𝟔,𝟏
𝟒] 16 . 𝟐𝟓𝟔
𝟗 ;
1
18 3 27 3 4
5 20 9
n
n
S



四．解答题:
17.【详解】解：（（1）由
cos ( 3 sin ) sin cosB a b C b B C
,及正弦定理得
2
3cos sin sin sin cos sin cosB A B C B B C
，
即得
 
2
3cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos sinB A B C B C B B B C B C 
，
又因为
ABC
中,
 
sin sinB C A
，
所以
3cos sin sin sinB A B A
,
又因为
sin 0A
,所以
即
tan 3B
．
又
 
0,πB
，故
π
3
B
（2）由（1）知，
3
B
，
∵
AB AC
，∴
ABC
为等边三角形，
在
ACD
中，由余弦定理知，
2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD D
16 4 2 4 2cos 20 16cosDD   
，
而
11
sin 4 2sin 4sin
22
ACD
S AD CD D D D  
△
，
2
11
sin sin
2 2 3
ABC
S AB BC B AC
 
△
5 3 4 3 cos D
，
∴四边形
ABCD
的面积
5 3 4 3cos 4sin
ACD ABC
S S S D D  
△ △
5 3 8sin 3
D

 


，
∵
 
0,D
，∴
2
,
3 3 3
D
 

 


，
∴当
32
D

即
5
6
D
时，
S
取得最大值，为
5 3 8
，
故四边形
ABCD
面积的最大值为
5 3 8
.
{#{QQABLYAUogggAhAAAAhCAwVQCkEQkACCACoOQEAEsAABAQFABAA=}#}
18.【详解】（Ⅰ）延长 ， ， 相交于一点 ，如图所示．
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ， 平面 ，因此 ．
又因为 ， ， ，
所以 为等边三角形，且 为 的中点，
则 ．
所以 平面 ．
（Ⅱ）方法一：过点 作 于 Q，连结 ．
因为 平面 ，所以 ， ，
则 平面 ，所以 ．
所以 是二面角 的平面角．
在 中， ， ，得 ．
在 中， ， ，得 ．
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
方法二：如图，延长 相交于一点 ，
则 为等边三角形．取 的中点 ，则 ，
又平面 平面 ，所以， 平面 ．
以点 为原点，分别以射线 ， 的方向为 ， 的正方向，
建立空间直角坐标系 ．
由题意得 ， ， ，
， ， ．
因此， ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ．
由 ，得 ，
取 ；
由 ，得
取 ．
于是， ．
所以，二面角 的平面角的余弦值为 ．
AD
BE
CF
K
BCFE
ABC
BCFE
ABC BC
AC BC
AC
BCK
BF
BCK
BF AC
//EF BC
1BE EF FC  
2BC
BCK
F
CK
,BF CK CK AC C
BF
ACFD
F
FQ AK
BQ
BF
ACK
BF AK
BF FQ F
AK
BQF
BQ AK
BQF
B AD F
Rt ACK
3AC
2CK
3 13
13
FQ
Rt BQF△
3 13
13
FQ
3BF
3
cos 4
BQF
B AD F
3
4
,,AD BE CF
K
BCK
BC
O
KO BC
BCFE
ABC
KO
ABC
O
OB
OK
x
z
Oxyz
 
1,0,0B
 
1,0,0C
(0,0, 3)K
 
1, 3,0A
13
( ,0, )
22
E
13
( ,0, )
22
F
 
0,3,0AC
 
1,3, 3AK
 
2,3,0AB
ACK
1 1 1
( , , )m x y z
ABK
2 2 2
( , , )n x y z
0
0
AC m
AK m


1
1 1 1
30
3 3 0
y
x y z
 
 
3,0, 1m
0
0
AB n
AK n


22
2 2 2
2 3 0
3 3 0
xy
x y z

 
 
3, 2, 3n
3 3 3 3
cos , 4
3 1 9 4 3
mn
mn mn

 
 
B AD F
3
4
{#{QQABLYAUogggAhAAAAhCAwVQCkEQkACCACoOQEAEsAABAQFABAA=}#}
19.【详解】（1）当
1n
时，
 
2
1
2
1
2
a
a
，解得
11a
.
当
2n
时，
 
2
1
2
n
n
a
S
，①，
 
2
1
1
1
2
n
n
a
S
，②
① ②得：
22
11
4 2 2
n n n n n
a a a a a

 
，即
 
11
20
n n n n
a a a a

 
.
0
n
a
，
12
nn
aa
 
.
 
n
a
是以
1
为首项，以
2
为公差的等差数列，
数列
 
n
a
的通项公式
 
1 1 2 2 1
n
a n n 
.
（2） 由（1）可得
 
2
1 2 1
2
n
nnS n

，
2 2 2 2
1 1 1 1
( 2) 4 ( 2)
n
n
bn n n n

 



12
1 1 1
4 1 3
b



，
222
1 1 1
4 2 4
b



，
322
1 1 1
4 3 5
b



， ，
122
1 1 1
4 ( 1) ( 1)
n
bnn





，
22
1 1 1 1 1 5 5
1
4 4 ( 1) ( 2) 4 4 16
n
Tnn

    



.
20.【详解】（1）①记三个人分别为
A
､
B
､
C
,则4次传球的所有可能可用树状图列
出,如图.
每一个分支为一种传球方案,则基本事件的总数为 16,而又回到
A
手中的事件个
{#{QQABLYAUogggAhAAAAhCAwVQCkEQkACCACoOQEAEsAABAQFABAA=}#}
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