湖北省部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题答案【武汉专题】

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绝密★启用前
七校联合体 2022-2023 学年度第二学期高一数学期中考试试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共 8小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法正确的是( )
A. 第二象限角比第一象限角大
B.
60∘
角与
600∘
角是终边相同角
C. 斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D. 将表的分针拨快
10
分钟，则分针转过的角的弧度数为
π
3
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查了终边相同的角、象限角、锐角等基本概念及其意义，属于基础题．
举例说明 A错误；由终边相同角的概念说明 B错误；由斜三角形的内角得范围说明 C错误；求出分针转
过的角的弧度数说明 D正确．
【解答】
解：对于
A
，
120 °
是第二象限角，
420 °
是第一象限角，
，故 A错误；
对于
B
，
600 °=360 °+240 °
，与
60 °
终边不同，故 B错误；
对于
C
，斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角，故 C正确；
对于
D
，分针转一周为
60
分钟，转过的角度为
2π
，将分针拨快是顺时针旋转，
∴
钟表拨慢
10
分钟，则分针所转过的弧度数为
−1
6×2π=−π
3
，故 D不正确．
2. 已知
θ
是第三象限角，且
sin 4θ+cos4θ=5
9
，那么
s in 2θ=¿
( )
A.
2❑
√
2
3
B.
−2❑
√
2
3
C.
2
3
D.
−2
3
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于基础题．
根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是
s in 2θ
，所以把正弦和余弦的平方和等于
1
两边平
方，
又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．
【解答】
∵sin2θ+cos2θ=1
，
∴sin4θ+cos4θ+2s i n2θ c o s2θ=1
，
∵sin4θ+cos4θ=5
9
，
∴2sin2θ c o s2θ=4
9
，
∵
角是第三象限角，
∴s i n 2θ=2❑
√
2
3
，
故选 A．
3. 如图，已知
Δ A B C
中，
D
为
A B
的中点，
AE
⃗
=1
3AC
⃗
，若
DE
⃗
=λ AB
⃗
+μ BC
⃗
，则
λ+μ=¿
( )
A.
−5
6
B.
−1
6
C.
1
6
D.
5
6
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用，向量的线性运算，属基础题．
由
D
为
A B
的中点，
A E
⃗
=1
3A C
⃗
，可得
D E
⃗
=−1
6A B
⃗
+1
3B C
⃗
，比较已知可得
λ+μ
值．
【解答】
解：
∵D
为
A B
的中点，
A E
⃗
=1
3A C
⃗
，
∴D E
⃗
=A E
⃗
− A D
⃗
=1
3A C
⃗
−1
2A B
⃗
=1
3
(
A B
⃗
+B C
⃗
)
−1
2A B
⃗
=−1
6A B
⃗
+1
3B C
⃗
，
又
∵D E
⃗
=λ A B
⃗
+μ B C
⃗
，
则
λ=−1
6, μ=1
3
，
λ+μ=−1
6+1
3=1
6
，
故选 C．
4. 在
△A B C
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为
a
，
b
，
c .
已知
a2+b2−¿
，则
△A B C
( )
A. 一定是直角三角形 B. 一定是等腰三角形 C. 一定是等腰直角三角形 D. 是等腰或直角三角形
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
由两角和的正弦函数公式，正弦定理可得：
c=a c o s B+b c o s A
，化简已知等式可得
a2+b2− c2=2a b c o s B
，利用余弦定理可求
c o s C=c o s B
，结合范围
B
，
C∈(0, π )
，可求
B=C
，
即可得解．
【解答】
解：
∵s i n C=sin (A+B)=s in A c o s B+s i n B c o s A
，
∴
由正弦定理可得：
c=a c o s B+b c o s A
，
∵a2+b2−¿
，
∴a2+b2−c2=2a b c o s B
，
∴co s C=a2+b2− c2
2a b =2a b c o s B
2a b =c o sB
，
∵B
，
C∈(0, π )
，
∴B=C .
则
△A B C
一定是等腰三角形．
故选：
B
．
5. 如图，扇形的半径为
1
，圆心角
∠B A C=150∘
，点
P
在弧
BC
上运动，
A P
⃗
=λ A B
⃗
+μ A C
⃗
，则
❑
√
3λ − μ
的最小值是 ( )
A.
0
B.
❑
√
3
C.
2
D.
−1
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的几何运用，三角函数的性质，辅助角公式，属于拔高题．
建立坐标系，求出向量坐标，设
P(c o s θ , s i n θ)
，
0° ≤θ ≤ 150°
，根据向量坐标的运算得到
λ=c o s θ+❑
√
3s in θ
，
μ=2si nθ
，则
❑
√
3λ − μ=2s i n(θ+60 °)
，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】
解：以
A B
为
x
轴，以
A
为原点，建立坐标系，如图，
设
P(c o s θ , s i n θ)
，
0° ≤θ ≤ 150°
，
则
A(0,0)
，
B(1,0)
，
C(−
❑
√
3
2,1
2)
，
∵A P
⃗
=λ A B
⃗
+μ A C
⃗
，
∴(c o s θ , s i nθ)=λ(1,0)+μ(−
❑
√
3
2,1
2)
¿(λ −
❑
√
3
2μ , μ
2)
，
∴co s θ=λ −
❑
√
3
2μ
，
s in θ=μ
2
，
∴λ=co s θ+❑
√
3s i n θ
，
μ=2si nθ
，
∴❑
√
3λ − μ=❑
√
3c o s θ+3s i n θ −2s i n θ
¿❑
√
3c o s θ+s in θ=2s i n(θ+60 °)
，
∵0° ≤ θ ≤150 °
，
∴60° ≤ θ+60 °≤ 210 °
，
∴
当
θ=150°
时，
2si n(θ+60°)=−1
，
即
❑
√
3λ − μ
的最小值为
−1
．
故选 D．
6. 已知函数
f(x)=sin (ω x +φ)(ω>0,∨φ∨≤π
2)
，
x=−π
4
为
f(x)
的零点，
x=π
4
为
y=f(x)
图象的对
称轴，且
f(x)
在
(π
18 ,5π
36 )
单调，则
ω
的最大值为 ( )
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大，根据已知可得
ω
为正奇数，
且
ω≤ 12
，结合
x=−π
4
为
f(x)
的零点，求出满足条件的解析式，并结合
f(x)
在
(π
18 ,5π
36 )
单调，可得
ω
的最大值．
【解答】
解：
∵x=−π
4
为
f
(
x
)
=sin
(
ω x+φ
)
的零点，
x=π
4
为
y=f(x)
图象的对称轴，
∴2n+1
4· T =π
2
，即
2n+1
4·2π
ω=π
2
，
(n∈N)
，即
ω=2n+1
，
(n∈N)
，即
ω
为正奇数，
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