天津市河北区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析

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天津市河北区 2020-2021 学年高一下学期数学期中考试试卷
一、单选题（共 10 题；共 40 分）
1.下列结论中，正确的是（### ）
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合########### B.若向量
⃗
a
与
⃗
b
都是单
位向量，则
⃗
a=
⃗
b
C.若向量
⃗
a
与
⃗
b
是平行向量，则
⃗
a
与
⃗
b
的方向相同##### D.若两个向量相等，则它们的模相
等
2.已知向量
，
⃗
b=(−1,1)
，则
2
⃗
a −
⃗
b=¿
（## #）
A.
(5,7)
 B.
(5,9)
 C.
(3,7)
 D.
(3,9)
3.已知
i
是虚数单位，则
2i
1− i=¿
（ ##）
A.
−1+i
B.
1+i
C.
1−i
D.
−1−i
4.如图所示，已知在
△ABC
中，D是边 AB 上的中点，则
⃗
CD=¿
（### ）
A.
⃗
BC − 1
2
⃗
BA
 B.
−
⃗
BC+1
2
⃗
BA
C.
−
⃗
BC − 1
2
⃗
BA
 D.
⃗
BC +1
2
⃗
BA
5.下面给出的命题中，正确的个数是（### ）
①一个棱柱至少有 5个面②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形③正棱锥的侧面是全等的等
腰三角形④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
A.1 B.2 C.3 D.4
6.用斜二测画法画水平放置的
△ABC
的直观图
△A'B'C'
如图所示，则在
△ABC
的三边及中线 AD
中，最长的线段是（### ）
A.ABB.ADC.BCD.AC
7.棱长为 a的正四面体的表面积为（### ）
A.
❑
√
3
12 a2
 B.
❑
√
3
8a2
 C.
❑
√
3
4a2
 D.
❑
√
3a2
8.已知
△ABC
的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若
a=❑
√
2
，
b=2
，
A=π
6
，则满足条件
的
△ABC
（### ）
A.无解##############################B.有一个解########
######################C.有两个解###################
###########D.不能确定
9.已知
△ABC
的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若
b=2acos C
，则
△ABC
的形状为
（### ）
A.等腰三角形######################B.直角三角形############
##########C.等边三角形######################D.以上均不正确
10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 A，B，但不能到达，现在岸边取相距 4km 的C，D两点，测得
∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标 A，B间的距
离为()km.
A.
8❑
√
5
3
B.
4❑
√
15
3
C.
2❑
√
15
3
D.2
❑
√
5
二、填空题（共 5题；共 20 分）
11.已知 i是虚数单位，则复数
1+2i
在复平面内对应的点的坐标为________.
12.已知向量
⃗
a=(1, −2)
，
⃗
b=(2, λ)
，若
⃗
a⊥
⃗
b
，则实数
λ
的值为________.
13.已知
¿
⃗
a∨¿6
，
⃗
e
为单位向量，若向量
⃗
a
与
⃗
e
的夹角为
135 °
，则向量
⃗
a
在
⃗
e
上的投影向量
为________.
14.长方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
AB=1
，
AD=2
，
A A1=3
，则三棱锥
D1− ABC
的体积
为________.
15.在
△ABC
中，
AB=1
，
AC=2
，
(
⃗
AB+
⃗
AC)⋅
⃗
AB=2
，则角 A的大小为________.
三、解答题（共 4题；共 40 分）
16.已知向量
¿
⃗
a∨¿3
，
¿
⃗
b∨¿2
，
⃗
a
与
⃗
b
的夹角为
π
3
.
（1）求
⃗
a⋅
⃗
b
及
¿
⃗
a+
⃗
b∨¿
；
（2）求
(
⃗
a+2
⃗
b)⋅(
⃗
a −3
⃗
b)
.
17.已知复数
z=(m2− m)+(m−1)i(m∈R)
.
（1）若
z
为实数，求
m
值；
（2）若
z
为纯虚数，求
m
值；
（3）若复数
z
对应的点在第一象限，求
m
的范围.
18.已知
△ABC
的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且
a=2
，
cos B=3
5
.
（1）若
b=4
，求
sin A
的值及
△ABC
的外接圆半径；
（2）若
△ABC
的面积为 4，求 b和c的值.
19.已知
△ABC
的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量
⃗
m=(cos A , sin B)
，
⃗
n=(a ,❑
√
3b)
，
且
⃗
m/¿
⃗
n
.
（1）求角 A的大小；
（2）若
a=❑
√
7
，
b=2
，求边 c和
△ABC
的面积.
摘要：

天津市河北区2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.下列结论中，正确的是（   ）A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合           B. 若向量⃗a与⃗b都是单位向量，则⃗a=⃗bC. 若向量⃗a与⃗b是平行向量，则⃗a与⃗b的方向相同     D. 若两个向量相等，则它们的模相等2.已知向量⃗a=(2,4)，⃗b=(−1,1)，则2⃗a−⃗b=¿（   ）A. (5,7)                                   B. (5,9)                                   C....

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