浙江省余姚中学2023-2024学年高二上学期期中考试 数学

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余姚中学 2023 学年第一学期期中考试高二数学学科试卷
一、单选题（本大题共 8小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在平面直角坐标系中，斜率为
3
的直线倾斜角为 ( )
A.
30
B.
60
C.
90
D.
120
2.在四面体
OABC
中，
OA a=
，
OB b=
，
，点
M
在
OA
上，且
2OM MA=
，
N
为
BC
中点，
则
MN =
( )
A.
1 2 1
2 3 2
a b c−+
B.
2 2 1
3 3 2
a b c+−
C.
1 1 1
2 2 2
a b c+−
D.
2 1 1
3 2 2
a b c− + +
3.已知向量
a
，
b
是平面
的两个不相等的非零向量，非零向量
c
是直线
l
的一个方向向量，则
0ca=
且
0cb=
是
l
⊥
的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.从分别写有 1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积
是5的倍数的概率为 ( )
A.
1
3
B.
2
5
C.
3
5
D.
1
5
5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉
骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的
1
3
，
五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一
眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高
度为 2cm，五眼中一眼的宽度为 1cm，若图中提供的直线
AB
近似记为该人像
的刘海边缘（其中点
A
、
B
在如图所示的网格线交点处），且该人像的鼻尖位
于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为
( )
A.
3.9 cm
B.
3.2 cm
C.
2.5 cm
D.
1.8 cm
6.已知函数
'( )y xf x=
的图像如图所示
(
其中
'( )fx
是函数
()fx
的导函数
)
，
则下面四个图像中，
()y f x=
的图像
大致是 ( )
A. B. C. D.
7.四名同学各掷骰子 5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有
出现点数 6的是 ( )
A. 平均数为 3，中位数为 2 B. 中位数为 3，众数为 2
C. 平均数为 2，方差为
2.4
D. 中位数为 3，方差为
2.8
8.过直线
3 4 12 0xy+ + =
上一点
P
作圆
:C
22
20x y x+ − =
的切线，切点为
A
、
B
，则四边形
PACB
的面
积的最小值为 ( )
A.
23
B. 3 C.
22
D.
6
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆
22
1:( 1) 4O x y− + =
和圆
22
2: ( 1) 2O x y+ − =
的交点为
A
、
B
，则 ( )
A. 两圆的圆心距
12
| | 2OO =
B. 直线
AB
的方程为
10xy− + =
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C. 圆
2
O
上存在两点
P
和
Q
使得
| | | |PQ AB
D. 圆
1
O
上的点到直线
AB
的最大距离为
22+
10.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用
a
表示黄色骰子朝上的点数，
b
表示白色骰子朝上的点数，用
( , )ab
表示一次试验的结果，该试验的样本空间为
，事件
A=
“关于
x
的方程
2
2 2( ) 5( ) 0x a b x a b− + + + =
无实根”，事件
B=
“
4a=
”，事件
C=
“
4b
”，事件
D=
“
20ab
”则 ( )
A.
A
与
B
互斥 B.
A
与
D
对立 C.
B
与
C
相互独立 D.
B
与
D
相互独立
11. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众
多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的
所有主播中，随机选取 300 人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图 1
所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图 2所示，则下列说法正确的有 ( )
A. 该平台女性主播占比的估计值为
0.4
B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为
0.7
C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取 20 名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，
则中年主播应抽取 6名
D. 从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为
0.6
12.如图，棱长为 6的正方体
1 1 1 1
ABCD ABC D−
中，点
M
、
N
满足
1
AM AC
=
，
CN CD
=
，其中
、
(0,1)
，点
P
是正方体表面上一动点，下列说法正
确的是 ( )
A. 当
1
3
=
时，
//DM
平面
11
CB D
B. 当
1
2
=
时，若
1//BP
平面
11
A NC
，则
1
||BP
的最大值为
35
C. 当
1
2

==
时，若
1
PM D N⊥
，则点
P
的轨迹长度为
12 6 5+
D. 过
A
、
M
、
N
三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分）
13.若直线
0x ay+=
与直线
( 1) 2 2 0a x y a+ + + − =
平行，则
a=
__________.
14.点
( )
1,2,1A
，
( )
3,3,2B
，
( )
1,4,3C
，若
D
在线段
AB
上，且满足
CD AB⊥
，则点
D
的坐标为__________.
15.已知函数
1
( )= x
f x e +
，
( ) ln 1g x x=+
，其中
e
是自然对数的底数.设直线
= ( 0)y t t
与曲线
= ( )y f x
与
分别交于
11
( , ( ))A x f x
、
22
( , ( ))B x g x
两点，若对任意
0t
，均有
21
x x a−
成立，则
a
的取值范
围为__________.
16.已知函数
2
2
,0
() 1,0
4
xe
xex
e
fx
xx
+
−
=
− −
，点
M
、
N
是函数
()y f x=
图象上不同的两个点，设
O
为坐标原点，
则
tan MON
的取值范围是__________.
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