浙江省余姚中学2023-2024学年高二上学期期中考试 数学 答案

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余姚中学 2023 学年第一学期期中考试高二数学学参考答案
1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B
9. BD 10. BCD 11. AC 12. ABC
13.
2−
或
1
14.
7 8 5
( , , )
3 3 3
15.
( )
,2−
16.
2
0,1 e

+


17. 解：（Ⅰ） 每组小矩形的面积之和为 1，
(0.005 0.010 0.020 0.025 0.010) 10 1a + + + + + =
，
0.030a=
；
（Ⅱ）成绩落在
内的频率为
(0.005 0.010 0.020 0.030) 10 0.65+ + + =
，
落在
内的频率为
(0.005 0.010 0.020 0.030 0.025) 10 0.9+ + + + =
，
设第 75 百分位数为 m，由
0.65 ( 80) 0.025 0.75m+ − =
，
得
84m=
，故第 75 百分位数为 84；
（Ⅲ）由图可知，成绩在
的市民人数为
100 0.1 10=
，
成绩在
[60,70)
的市民人数为
100 0.2 20=
，
故
10 51 63 20 59
10 20
z +
==
+
，
设成绩在
中10 人的分数分别为
1
x
，
2
x
，
3
x
， ，
10
x
；
成绩在
[60,70)
中20 人的分数分别为
1
y
，
2
y
，
3
y
， ，
20
y
，
则由题意可得，
2 2 2 2
1 2 10 51 7
10
x x x+ + + −=
，
2 2 2 2
1 2 20 63 4
20
y y y+ + + −=
，
即
2 2 2
1 2 10 26080x x x+ + + =
，
2 2 2
1 2 20 79460y y y+ + + =
，
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 10 1 2 20
1()
10 20
s x x x y y y z = + + + + + + + −
+
2
1(26080 79460) 59 37
30
=  + − =
，
所以两组市民成绩的总平均数是 59，总方差是
37
.
18. 解：（Ⅰ）在
PAB
中，
2 2 2 2 2 2
3 2 ( 13)PA AB PB+ = + = =
.
所以
90PAB = 
，即
AB PA⊥
；
又因为
AB AD⊥
，
在平面 PAD 中，
PA AD A=
，
所以
AB ⊥
平面
PAD
；
（Ⅱ）因为平面
PAB ⊥
平面 ABCD ，
平面
PAB
平面
ABCD AB=
，
AB AD⊥
，
AD
平面 ABCD ，
第2页，共 5页
所以
AD ⊥
平面
PAB
，所以
AD PA⊥
，
由（Ⅰ）已证
AB PA⊥
，且已知
AB AD⊥
，
故以 A 为原点，建立如图空间直角坐标系 A-xyz ，
则
(2,0,0)D
，
(0,0,3)P
，
(3,2,0)C
，
所以
(0,0,3)AP =
，
(2,0,0)AD =
，
(3,2,0)AC =
，
( 3, 2,3)CP = − −
因为 E 为PD 中点，
所以
13
( ) (1,0, )
22
AE AP AD= + =
，
由
3PC FC=
知，
1 2 4
(3,2,0) ( 1, ,1) (2, ,1)
3 3 3
AF AC CF AC CP= + = + = + − − =
，
设平面 AEF 的法向量为
( , , )n x y z=
，
则
0
0
n AE
n AF
=
=
即
30
24
20
3
xz
x y z
+=
+ + =
，令
2z=
，则
3x=−
，
3y=
，
于是
( 3,3,2)n=−
，
又因为由（Ⅰ）已证
AB ⊥
平面 PAD
，
所以平面 PAD 的法向量为
(0,2,0)AB =
，
所以
3 2 3 22
cos , 22
| || | 2 9 9 4
n AB
n AB n AB

 = = =
+ +
，
平面
FAE
与平面
AED
夹角的余弦值
3 22
22
；
（Ⅲ）设Q 是线段 AC 上一点，则存在
[0,1]
使得
AQ AC
=
，
因为
(3,2,0)AC =
，
( 2,0,0)DA =−
，
所以
(3 2,2 ,0)DQ DA AQ DA AC
 
= + = + = −
，
因为
DQ

平面 AEF ，
所以
//DQ
平面 AEF 当且仅当
0DQ n=
，
即
(3 2,2 ,0) ( 3,3,2) 0

−  − =
，
即
(3 2) ( 3) 2 3 0 2 0

−  − + + =
，解得
2
=
，
因为
2 [0,1]
=
，所以线段 AC 上不存在 Q 使得
//DQ
平面
AEF
.
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