浙江省余姚中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测试卷 数学答案

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高二数学答案
【答案】
1.
B
2.
C
3.
D
4.
C
5.
B
6.
C
7.
A
8.
D
9.
10.
BD
11.
BCD
12.
ABD
13.
840
14.
3
7
15.
¿
16.
(
− ∞ , −3
)
∪
(
0,+∞
)
17. 解：
(1)∵
每组小矩形的面积之和为
1
，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1
，
∴a=0.030
；
(2)
成绩落在
¿
内的频率为
(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65
，
落在
¿
内的频率为
(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9
，
设第
75
百分位数为
m
，
由
0.65+(m− 80)×0.025=0.75
，
得
m=84
，故第
75
百分位数为
84
；
(3)
由图可知，成绩在
¿
的市民人数为
100 ×0.1=10
，
成绩在
¿
的市民人数为
100 ×0.2=20
，
故
z=10 ×51+63 ×20
10+20 =59
，
设成绩在
¿
中
10
人的分数分别为
x1
，
x2
，
x3
，
⋯
，
x10 ;
成绩在
¿
中
20
人的分数分别为
y1
，
y2
，
y3
，
⋯
，
y20
，
则由题意可得，
x1
2+x2
2+⋯+x10
2
10 −512=7
，
y1
2+y2
2+⋯+y20
2
20 −632=4
，
即
x1
2+x2
2+⋯+x10
2=26080
，
y1
2+y2
2+⋯+y20
2=79460
，
∴s2=1
10+20 (x1
2+x2
2+⋯+x10
2+y1
2+y2
2+⋯+y20
2)− z2
¿1
30 ×(26080+79460)−592=37
，
所以两组市民成绩的总平均数是
59
，总方差是
37
．
18. 解：
(1)
设
A1=¿
“甲在第一轮比赛中胜出”，
A2=¿
“甲在第二轮比赛中胜出”，
B1=¿
“乙在第一轮比赛中胜出”，
B2=¿
“乙在第二轮比赛中胜出”，
则
A1A2=¿
“甲赢得比赛”，
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=1
2×3
5=3
10
．
B1B2=¿
“乙赢得比赛”，
P(B1B2)=P(B1)P(B2)= 1
3×3
4=1
4=3
12
．
因为
3
10 >3
12
，
所以派甲参赛获胜的概率更大．
(2)
由
(1)
知，
设
C=¿
“甲赢得比赛”，
D=¿
“乙贏得比赛”，
则
P(C)=1− P(A1A2)=1−3
10 =7
10
；
P(D)=1− P(B1B2)=1−1
4=3
4
．
于是
C∪D=¿
“两人中至少有一人赢得比赛”
P(C∪D)=1− P(C D)=1− P(C)P(D)=1−3
4×7
10 =19
40
．
19. 解：
(1)f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x −sin2x)−sin 2 x=cos 2 x− sin 2 x=
√
2 sin
(
2x+3π
4
)
，
∴f(x)
的最小正周期
T=2π
2=π
．
由
2kπ − π
2⩽2x+3π
4⩽2kπ +π
2, k ∈Z
得：
kπ − 5π
8⩽x⩽kπ − π
8, k ∈Z
，
∴f(x)
的单调递增区间为
[
kπ − 5π
8, kπ − π
8
]
(k∈Z)
(2)∵x∈
[
0,π
2
]
，
∴2x+3π
4∈
[
3π
4,7π
4
]
，则
−1≤sin(2x+3π
4)≤
√
2
2
，即
−
√
2≤ f (x)≤1
，
∴
函数
f(x)
在区间
[
0,π
2
]
上的值域为
[
−
√
2,1
]
(3)
由
f
(
A
2
)
=
√
2 sin
(
A+3π
4
)
=0
，由
△ABC
，得
A=π
4
．
由余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos A
，得
4=b2+c2−
√
2bc ≥2bc −
√
2bc
∴bc ≤ 4+2
√
2
，当且仅当
b=c
时等号成立．
∴S▵ABC =1
2bc sin A ≤
√
2+1
．
∴△ABC
面积的最大值为
√
2+1
．
20. 解：
(1)
设等差数列
{
an
}
的公差为
d(d>0)
，等比数列
{
bn
}
公比为
q
，
∴
{
b2S2=b1q
(
2a1+d
)
=2q(2+d)=12
b2+S3=b1q+3a1+3d=2q+3+3d=10
，解得：
{
q=2
d=1
，
∴an=1+(n −1)×1=n
；
bn=2×2n −1=2n
；
(2)
由
(1)
得：
an⋅bn=n⋅2n
，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+⋅⋅ ⋅+(n −1)⋅2n −1+n⋅2n
，
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅+(n −1)⋅2n+n⋅2n+1
，
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