浙江省余姚中学2022-2023学年高二下学期期中考试 数学参考答案及评分标准

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数学试题答案 第1页（共 8页）
余姚中学 2022 学年第二学期期中考试高二数学参考答案
一、 单项选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
B
C
C
A
D
8．设直线
l
为曲线
( )
y f x=
在点
( )
( )
11
,x f x
处的切线，
( )
1
fx x
=
．
，即
1
1
1ln 1y x x
x
= + −
；
设直线
l
为曲线
( )
y g x=
在点
( )
( )
22
,x f x
处的切线，
( )
1a
g x ax −
=
．
( )
1
2 2 2
:aa
l y x ax x x
−
− = −
，即
( )
1
2 2 2
1
a a a
y x ax x a x
−
− = + −
；
由题知
( )
1
2
1
12
1
ln 1 1
a
a
ax
x
x a x
−
=
− = −
①
②
注意到
12
,0xx
，故
0a
．
由①式得
( )
12
ln ln 1 lnx a a x= − − −
，代入②式得
( ) ( )
22
ln 1 ln 1 1 a
a a x a x− − − − = −
．
显然
1a
，整理得
221 ln
ln 1
aa
xx a
+
−=
−
．
记
( )
ln a
h x x x=−
（
0a
且
1a
），则
( )
1
11
a
aax
h x ax
xx
−−
= − =
．
当
1
1
0a
xa




时，
( )
hx
单调递增；当
1
1a
xa



时，
( )
hx
单调递减．
( )
1
max
1 1 ln
aa
h x h aa
+


= = −




，故
1 ln 1 ln
1
aa
aa
++
−
−
．
化简得
( )
1 ln 0
1
a
aa
+
−
，解得
( )
1
0, 1,ae

 +

数学试题答案 第2页（共 8页）
二、 多项选择题：
9
10
11
12
AD
ABD
BC
BD
12．设
2
F B m=
，则
12FB m a=+
，
27F A m=
，
172F A m a=+
．
在
12
AFF△
中，由余弦定理得
( ) ( ) ( )
2 2 2 °
7 2 7 2 2 7 2 cos120m a m c m c+ = + − 
．
22
2 2 7 14a c cm am − = −
．①
在
12
BFF△
中，由余弦定理得
( ) ( ) ( )
2 2 2 °
2 2 2 2 cos60m a m c m c+ = + − 
．
．②
综合①②得
23ca=
．
故离心率
3
2
c
a=
，A选项错误．
12
12
2
2
7:1
AF F
BF F
SAF
S BF
==
△
△
，B选项正确．
将
23ca=
代入①式可得
5
7
ma=
，故
25F A a=
，
17F A a=
，
119
7
F B a=
，
所以
12
AFF△
的周长为
15a
，
12
BFF△
的周长为
45
7a
，C选项错误．
设
12
AFF△
与
12
BFF△
的内切圆半径分别为
12
,rr
．
12
12
1
2
115
27
1 45
27
AF F
BF F
ar
S
Sar

==

△
△
，所以
12
: 3:1rr=
，D选项正确．
三、 填空题：
13．
35
14．
3
15．
 
0,1
16．
3
27
；
23
5
16．若第
n
幅图中图形的边数记为
n
N
，则
( )
1
42
nn
N N n
−
=
，又
13N=
，故
11
14 3 4
nn
n
NN−−
= = 
．
注意到每次操作都是使得原来图形的每条边上长出一个小三角形，故第
n
幅图比第
1n−
幅图新增部分的面
积
2
1
11
1 3 4
99
n
nn
nn
S S N S
−
−
−−
=  =
，从而图形的总面积
数学试题答案 第3页（共 8页）
2
23 3 4 4 4 8 3 4
4 9 9 9 5 5 9
nn
nn
T S S S S S S S
 
     
= + + ++ = + + ++ = −
 
     
     
 
 
，
不断地趋于
8 8 3 2 3
5 5 4 5
S=  =
．
四、 解答题：
17．（I）
2
a
是
14
,aa
的等比中项．
2
2 1 4
a a a=
，即
( ) ( )
2
1 1 1 3a d a a d+ = +
．① ------------------------------------------------------------------------------1 分
56
11aa+=
．
( ) ( )
11
4 5 11a d a d + + + =
．② -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分
又
0d
，联立①②可得
11ad==
．-------------------------------------------------------------------------------------------4分
( )
11
n
a a n d n = + − =
．---------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
（II）若选①：
2n
n
bn=
．
12
1 2 2 2 2n
n
Sn=  + ++
．------------------------------------------------------------------------------------------------6分
2 3 1
2 1 2 2 2 2n
n
Sn
+
= +  ++
．
( )
1 2 3
2 2 2 2 2
nn
n
Sn+
= − − + ++
----------------------------------------------------------------------------------------------7分
( ) ( )
( )
1 1 1
2 1 2
2 2 2 1 2 1 2 2
12
n
n n n n
n n n
+ + +
−
=  − =  + − = − +
−
．-----------------------------------------------------10 分
若选②：
( )( )
2
4
2 1 2 1
n
n
bnn
=−+
．-------------------------------------------------------------------------------------------------6分
( )( )
1 1 1 1
11
2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n

= + = + −

− + − +

---------------------------------------------------------------8分
2
1 1 2 2
1
2 2 1 2 1 2 1
n
n n n
S n n
n n n
+

= + − = + =

+ + +

．-----------------------------------------------------------------------10 分
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