北京四中2021-2022学年度第二学期高三年级阶段性测试一数学学科试卷答案

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2021~2022 学年度第二学期高三年级阶段性测试一数学学科试卷参考答案共 6页

参考答案

DBCCB AABCB

11.

x  R

，

e 0

x

12.

10

13.

6, 12x y

14.

1, 2, 3  

15. ②③④

16. 解：（不可以选择②作为补充条件.）

选择①作为补充条件. ……………… 2 分

解答如下：因为在

ABC△

中，

πA B C  

，

所以

sin sin( ) C A B

……………… 4 分

sin cos cos sin A B A B

……………… 6 分

2π π 2π π

sin cos cos sin

3 4 3 4

 

6 2





. ……………… 8 分

在△

ABC

中，由正弦定理

sin sin

a b

A B



，得

sin 3

sin

b A

 

. ……………… 11 分

所以△

ABC

的面积

1 9 3 3

sin

2 4

S ab C 

 

. ……………… 13 分

选择③作为补充条件. ……………… 2 分

解答如下：在△

ABC

中，由

3 2 sina B

，以及正弦定理

sin sin

a b

A B



， ………… 4 分

得

3 2 sin 6

2π sin

sin 3



，解得

sin 2

B

由

2π

A

，得

为锐角，所以

B

，且

3 2 sin 3a B 

. ……………… 6 分

因为在

ABC△

中，

πA B C  

，

所以

sin sin( )C A B 

……………… 8 分

sin cos cos sin A B A B

……………… 10 分

2π π 2π π

sin cos cos sin

3 4 3 4

 

6 2





. ……………… 11 分

所以△

ABC

的面积

1 9 3 3

sin

2 4

S ab C 

 

. ……………… 13 分

2021~2022 学年度第二学期高三年级阶段性测试一数学学科试卷参考答案共 6页

17. （Ⅰ）解：

0.15a

，

30b

. ……………… 2 分

（Ⅱ）解：

的所有取值为

0,1, 2,3

. ……………… 3 分

由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为

0.1 0.15 0.25 

， ……… 4 分

从本批次灯泡中购买 3 个，可看成 3 次独立重复试验，

所以

0 3

1 27

( 0) C (1 )

4 64

P X     

，

1 2

1 1 27

( 1) C (1 )

4 4 64

P X      

，

2 2 1

1 1 9

( 2) C ( ) (1 )

4 4 64

P X     

，

3 3

1 1

( 3) C ( )

4 64

P X    

. ……………… 8 分

所以随机变量

的分布列为：

………………10 分

所以

的数学期望

27 27 9 1 3

( ) 0 1 2 3

64 64 64 64 4

E X         

． ………………13 分

（注：写出

(3, )

X B

，

1 1

( ) C ( ) (1 )

4 4

k k k

P X k 

  

，

0,1, 2,3k

. 请酌情给分）

18. 证：（Ⅰ）因为

PA 

平面

ABCD

，

BC 

平面

ABCD

，

所以

PA BC

因为

ABCD

是矩形，所以

BC AB

因为

PA AB A

，

所以

BC 

平面

PAB

因为

AF 

平面

PAB

，所以

BC AF

因为

AB PA

，

是

中点，所以

AF PB

因为

PB BC B

，

所以

AF 

平面

PBC

. …………………5 分

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（Ⅱ）解：因为

PA 

平面

ABCD

，所以

,PA AB PA AD 

. 又

AB AD

，所以以

为坐

标原点，

, ,AD AB AP

所在直线为

, ,x y z

轴建立空间直角坐标系.

设

BE a

，则

(0, 0,1), ( 3,0,0), ( ,1,0)P D E a

，

1 1

(0, , )

2 2

所以

( 3,1,0), ( 3, 0, 1)DE a PD   

 

设平面

PDE

的法向量为

( , , )x y zn

，则

 



 







所以

( 3) 0,

3 0.

a x y

x z

  



 





令

1x

，得

3y a 

，

3z

，所以

(1, 3 , 3)a m

平面

PCE

的法向量为

1 1

(0, , )

2 2

AF 



设二面角

C PE D 

的大小为



，则

| 3 |

| cos | | cos , | | || | 2

2 3 7 2

AF AF a a







    

  



 

| n

又

45 , cos 45 2



   

，所以

5 3

a

所以当

5 3

BE 

时，二面角

P DE A 

为

45

. …………………11 分

（Ⅲ）

P ACF C APF

V V

 



1 1 1

3 3 2



    

PAF

S h PF AF AD

1 1 2 2 3 .

3 2 2 2 12

     

…………………14 分

19．

解：（Ⅰ）当

1a 

时，

( ) lnf x x x x  

设曲线

( )y f x

在点

(1, (1))f

处的切线的方程为

(1) (1)( 1)y f f x



  

，

因为

( ) 2 1f x x x

  

，所以

(1) 2f

，又

(1) 2f

，

所以切线方程为

2 2( 1)y x  

，即

2y x

. ……………4 分

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摘要：

2021~2022学年度第二学期高三年级阶段性测试一数学学科试卷参考答案共6页参考答案DBCCBAABCB11.xR，e0x12.1013.26,12xy14.1,2,315.②③④16.解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件.………………2分解答如下：因为在ABC△中，πABC，所以sinsin()CAB………………4分sincoscossinABAB………………6分2ππ2ππsincoscossin3434624.………………8分在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，得sin3sinbAaB.………………11分所以△ABC...

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