甘肃省兰州市第六十一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题 答案

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兰化一中 2023 届高三第四次阶段考试
数学（理科）答案
一、选择题（每题 5分，共 60 分）
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选
项
D
B
B
A
D
A
C
A
C
B
D
D
12 题解析：
画出
( )f x
的图象，由
0abc  
且
( ) ( ) ( )f a f b f c 
得：
0 1,1 ,a b e c e 
,
ln ln , ln e
a b b c
 
,
1, lnab c b e 
.
= ) lna b c b （
1
= ) lnb b e
b （
,
令
1
( ) ( ) ln + , (1 )g b b b e b e
b
 
，则
2
1 1 1
( ) (1 ) ln ( )g b b b
b b b
 
，
2
1
( ) 1 ln (1 ln )g b b b
b
 
，
1 , 1 ln 0, ln 0b e b b 
，
( ) 0g b
，
则函数
( )g b
在区间
 
1, e
上单调递增，
(1) ( ) ( )g g b g e 
，即
e
1 1
) ln 2b b e e
b e
  （
，
( ) ( ) ( )af b bf c cf a 
的取值范围是
1
, 2e e e
（以
a
为变量时，注意
a
的取值范围为
11a
e 
）.故答案为 D.
二、填空题（每题 5分，共 20 分）
13、
 
1,1
14、-1 或3 15、4 16、4037
三、解答题（共 70 分）
17.（12 分）
（1）选①
2 cos
cos
c b B
a A
，所以
2sin sin cos
sin cos
C B B
A A
，
所以
2sin cos sin cos sin cosC A B A A B 
，
整理得
2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinC A B A A B A B C  
.
因为
sin 0C
，所以
1
cos 2
A
.因为
π
0, 2
A 
 
 
，所以
π
3
A
.
选②因为
2 cos 2a C c b 
，所以
 
2sin cos sin 2sin 2sinA C C B A C 
，
所以
2sin cos sin 2sin cos 2cos sinA C C A C A C 
，整理得
sin 2 cos sinC A C
.
因为
sin 0C
，所以
1
cos 2
A
，因为
π
0, 2
A 
 
 
，所以
π
3
A
.
选③因为
1
sin cos sin 2 3 cos
2
a A C c A b A 
，
所以
sin sin cos sin sin cos 3 sin cosA A C C A A B A 
，
所以
sin (sin cos sin cos ) 3 sin cosA A C C A B A 
，整理得
sin sin 3 sin cosA B B A
.
因为
sin 0B
，所以
sin 3 cosA A
.因为
π
0, 2
A 
 
 
，所以
tan 3A
，
π
3
A
.
（2）因为
π
3
A
，所以
 
1 3
cos cos cos cos cos sin sin
2 2 6
π
B C B B A B B B
 
 
 
 
.
因为
π
0, 2
B 
 
 
，所以
2π 0,
3 2
π
C B  
  
 
，所以
π π
,
6 2
B 
 
 
，
所以
π π 2π
,
6 3 3
B 
  
 
，所以
π 3
sin ,1
6 2
B 
 
 
 
，故
3
cos cos ,1
2
B C  
 
 
.
18.（12 分）
（1）∵
 
0.0025 0.015 0.020 10 0.375  
，
 
0.0025 0.015 0.020 0.025 10 0.625  
，
所以中位数位于
60, 70
之间，
设这 200 名同学竞赛成绩的中位数为
x
，则
 
0.0025 0.015 0.020 0.025 60 10 0.5x  
 
 
，解得
65x
．
竞赛成绩不低于 80 分的学生人数为：
 
200 0.010 0 0.005 301 
；
（2）设这名同学获得书籍的数量为
，则
的可能取值为 2，4，6，8．
 
2 3 1
23 4 2
P
 
，
 
2
1 3 2 1 17
43 4 3 4 48
P
 
 
 
 
，
 
1
2
1 3 1 1
6 C
3 4 4 8
P
 
，
 
2
1 1 1
83 4 48
P
 
 
 
 
，
所以
的分布列为
2
4
6
8
P
1
2
17
48
1
8
1
48
 
1 17 1 1 10
2 4 6 8
2 48 8 48 3
E
 
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19.（12 分）
（1）取线段
CF
中点
H
，连接
OH GH、
，
由图 1可知，四边形
EBCF
是矩形，且
2CB EB
，
O
是线段
BF
与
CE
的中点，
//OH BC
且
1
2
OH BC
，
在图 1中
//AG BC
且
1
2
AG BC
，
//EF BC
且
=EF BC
．
所以在图 2中，
//AG BC
且
1
2
AG BC
，
//AG OH
且
AG OH
四边形
AOHG
是平行四边形，则
//AO HG
由于
AO
平面
GCF
，
HG
平面
GCF，
AO
//
平面
.GCF
（2）由图 1，
,EF AE EF BE 
，折起后在图 2中仍有
,EF AE EF BE 
，
AEB
即为二面角
A EF B 
的平面角．
2π
3
=AEB
，
以
E
为坐标原点，
EB EF
 
，
分别为
x
轴和
y
轴正向建立空间直角坐标系
E xyz
如图，
且设
2 =2 =4CB EB EA
，
则
   
 
2,0, 0 , 0, 4,0 1, 0, 3B F A ,
，
 
11, 2, 3
2
FG FE EA AG FE EA EF    
    
，
 
 
3, 0, 3 2,0,0BA FC EB 
 
,
，
设平面
GCF
的一个法向量
( , , )n x y z
，
由
· 0
· 0
n FC
n FG
，得
2 0
2 3 0
x
x y z
 
，取
= 3y，
则
2z，
于是平面
GCF
的一个法向量
 
0, 3, 2n
，
2 3 7
cos , 7
12 7
n BA
n BA
n BA
 
 
 
 
，
摘要：

兰化一中2023届高三第四次阶段考试数学（理科）答案一、选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112选项DBBADACACBDD12题解析：画出()fx的图象，由0abc且()()()fafbfc得：01,1,abece,lnln,lneabbc,1,lnabcbe.()()()afbbfccfa=)lnabcb（1=)lnbbeb（,令1()()ln+,(1)gbbbebeb，则2111()(1)ln()gbbbbbb，21()1ln(1ln)gbbbb，1,1ln0,ln0bebb，()0gb...

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