决胜考场高中物理模块九磁场：考点4.5 带电粒子在磁场中运动之周期性磁场问题

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考点 4.5 周期性磁场问题

周期性磁场问题：粒子在磁场或含有磁场的复合场中运动时，磁场周期性变化，有方向周

期性变化，也有大小周期性变化，不论是哪种周期性变化，最终引起的都是粒子轨迹周期

性变化。有效地区分与联系粒子运动周期与磁场变化周期是解题的关键。

【例题】如图甲所示，在直角坐标系 0≤x≤L区域内有沿 y轴正方向的匀强电场，右侧

有一个以点(3L,0)为圆心、半径为 L的圆形区域，圆形区域与 x轴的交点分别为 M、N.现有

一质量为 m、带电荷量为 e的电子，从 y轴上的 A点以速度 v0沿x轴正方向射入电场，飞出

电场后从 M点进入圆形区域，速度方向与 x轴夹角为 30°.此时在圆形区域有如图乙所示周

期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从 N飞出，

速度方向与进入磁场时的速度方向相同(与x轴夹角为 30°)．求：

(1) 电子进入圆形磁场区域时的速度大小；

(2) 0≤x≤L区域内匀强电场场强 E的大小；

(3) 写出圆形磁场区域磁感应强度 B0的大小、磁场变化周期 T各应满足的表达式．

解析　(1)电子在电场中做类平抛运动，射出电场时，如图所示．

由速度关系：＝cos 30°

解得 v＝v0

(2)由速度关系得 vy＝v0tan 30°＝v0

在竖直方向 a＝

vy＝at＝·

解得 E＝

(3)在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为 60°，根据几何知识，在

磁场变化的半个周期内，粒子在 x轴方向上的位移恰好等于 R，如

图所示．粒子到达 N点而且速度符合要求的空间条件是：2nR＝2L

电子在磁场内做圆周运动的轨道半径 R＝＝，解得 B0＝(n＝1、2、3…)

若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时 MN 间运动时间是磁场变化周期的

整数倍时，可使粒子到达 N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：2n·T0＝

nT，T0＝

解得：T＝(n＝1、2、3…)

【答案】(1)v0　(2)　(3)B0＝(n＝1、2、3…)　T＝(n＝1、2、3…)

1. 图(a)所示的 xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与 xOy 平面(纸面)垂直，磁感应强度

B随时间 t变化的周期为 T，变化图线如图(b)所示．当 B为＋B0时，磁感应强度方向指

向纸外．在坐标原点 O有一带正电的粒子 P，其电荷量与质量之比恰好等于.不计重力．

设P在某时刻 t0以某一初速度沿 y轴正向从 O点开始运动，将它经过时间 T到达的点

记为 A.

(a) (b)

(1) 若t0＝0，则直线 OA 与x轴的夹角是多少？

(2) 若t0＝，则直线 OA 与x轴的夹角是多少？

【答案】(1)0　(2)

2. 如图甲所示，在 xOy 平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规

律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿 y轴正方向电场

强度为正).在t＝0时刻由原点 O发射初速度大小为 v0、方向沿 y轴正方向的带负电粒

子.

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