《新课标高中物理模型与方法》专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型（解析版）

3.0 envi 2025-02-14 14 4 1.91MB 31 页 3知币

专题 15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型

一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述.......................................................................1

二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型....................................................................................................2

三．平行边界磁场模型.........................................................................................................................................7

四．圆形边界磁场模型.......................................................................................................................................10

五．环形磁约束模型...........................................................................................................................................16

六．三角形或四边形边界磁场模型..................................................................................................................20

七．数学圆模型在电磁学中的应用..................................................................................................................24

模型一　“放缩圆”模型的应用..............................................................................................................24

模型二　“旋转圆”模型的应用..............................................................................................................27

模型三　“平移圆”模型的应用..............................................................................................................31

模型四 “磁聚焦”模型..........................................................................................................................32

一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述

基本思路图例说明

圆心的确定

① 与速度方向垂直的

直线过圆心②弦的垂

直平分线过圆心③轨

迹圆弧与边界切点的

法线过圆心

P、M点速度垂线交点

P点速度垂线与弦的垂直平

分线交点

某点的速度垂线与切点法线

的交点

半径的确定

利用平面几何知识求

半径

常用解三角形法：例：(左

图)

R＝或由 R2＝L2＋(R－d)2求

得R＝

运动时间的确定

利用轨迹对应圆心角 θ

或轨迹长度 L求时间

①t＝T

②t＝

(1)速度的偏转角 φ等于

所对的圆心角 θ

(2)偏转角 φ与弦切角 α的关

系： φ<180° 时， φ＝2α；

φ>180°时，φ＝360°－2α

二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型

【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)

图a中粒子在磁场中运动的时间 t＝＝

图b中粒子在磁场中运动的时间 t＝(1－)T＝(1－)＝

图c中粒子在磁场中运动的时间 t＝T＝

【模型演练 1】.(2020·贵州贵阳市四校联考)在如图所示的 xOy 平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、

磁感应强度分别为 B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa 是两磁场的边界，且与 x轴的夹角为 45°.一不

计重力、带正电的粒子从坐标原点 O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与 y轴相切但

未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为(　　)

A.＝ B.＝

C.＝ D.＝

【答案】　C

【解析】　设带电粒子在 B1中运动的半径为 R1，在 B2中运动的半径为 R2，根据条件作出粒子的运动轨迹

如图所示，

由图中几何关系可知 R1＝2R2，根据 qvB＝m可得＝＝，故 C正确，A、B、D错误．

【模型演练 2】(2020·吉林长春市六中 3月线上测试)如图所示，在 0≤x≤3a的区域内存在与 xOy 平面垂直的

匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在t＝0时刻，从原点 O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与 y

轴正方向的夹角分布在 0°～90°范围内．其中，沿 y轴正方向发射的粒子在 t＝t0时刻刚好从磁场右边界上

P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)

A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 3a

B．粒子的发射速度大小为

C．带电粒子的比荷为

D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 2t0

【答案】　D

【解析】　沿 y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示：

设粒子运动的轨迹半径为 r，根据几何关系有(3a－r)2＋(a)2＝r2，可得粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝

2a，选项 A错误；根据几何关系可得 sin θ＝＝，所以 θ＝，圆弧 OP 的长度 s＝(π－θ)r，所以粒子的发射速

度大小 v＝＝，选项 B错误；根据洛伦兹力提供向心力有 qvB＝m，结合粒子速度以及半径可得带电粒子的

比荷＝，选项 C错误；当粒子轨迹恰好与磁场右边界相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，粒子轨迹如

图乙所示，粒子与磁场边界相切于 M点，由几何关系可知，从 E点射出．设从 P点射出的粒子转过的圆心

角为 π－θ，时间为 t0，则从 E点射出的粒子转过的圆心角为 2(π－θ)，故带电粒子在磁场中运动的最长时间

为2t0，选项 D正确．

【典例分析 3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在 0≤x≤h，－∞<y<＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，

磁感应强度 B的大小可调，方向不变．一质量为 m，电荷量为 q(q>0)的粒子以速度 v0从磁场区域左侧沿 x

轴进入磁场，不计重力．

(1)若粒子经磁场偏转后穿过 y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的

最小值 Bm；

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