《高三物理寒假讲义》专题10 万有引力与航天（讲义）

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专题 10 万有引力与航天（讲义）

一、核心知识

（一）开普勒三定律

1.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．

2.开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．

4.对开普勒行星运动定律的理解

(1)开普勒第一定律为轨道定律，行星的运行轨道为椭圆，但一般都接近于圆，计算时可认为行星做匀

速圆周运动，这时太阳在圆心；开普勒第二定律为面积定律，如图所示，行星从 a到b和从 c到d都经历

时间 Δt，行星与太阳的连线扫过的面积相等，即＝，故有＝；开普勒第三定律为周期定律，＝k，应用此

公式可以快速解决部分环绕天体问题．

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k值不同．但该定律只能用

在同一中心天体的两星体之间．

（二）万有引力定律

1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量

m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离 r的平方成反比．

2.表达式：F＝G

G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

4．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F向．

(1)在赤道上：G＝mg＋mω2R.

(2)在两极上：G＝mg.

(3)在一般位置：万有引力 G等于重力 mg 与向心力 F向的矢量和．

越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重

力，即＝mg.

5．星体表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)：

mg＝G，得 g＝.

(2)在地球上空距离地心 r＝R＋h处的重力加速度为 g′，

mg′＝，得 g′＝

所以＝

（三）万有引力定律的应用

1．“g、R”法

已知天体表面的重力加速度 g和天体半径 R.

(1)由G＝mg，得天体质量 M＝.

(2)天体密度 ρ＝＝＝.

2．“T、r”法

测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r和周期 T.

(1)由G＝mr，得 M＝.

(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度

ρ＝＝＝.

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝.故只要测出卫星环

绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．

3．用万有引力定律的两个推论计算万有引力

推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0.

推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心 r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 r的同

心球体(M′)对它的引力，即 F＝G.

（四）宇宙速度的理解和计算

1．第一宇宙速度的推导

方法一：由 G＝m得v1＝ ≈7.9×103 m/s.

方法二：由 mg＝m得v1＝≈7.9×103 m/s.

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，

Tmin＝2π≈5075 s≈85 min.

2．第二、三宇宙速度

(1)第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

(2)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

3．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s 时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)．

(2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．

(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s 时，卫星绕太阳做椭圆运动．

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