《高三物理二轮复习23个专题》专题13：带电粒子在磁场中的运动

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带电粒子在磁场中的运动
【例 1】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方向的
匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？
解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。
所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子
受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv。当
外电路断开时，这也就是电动势 E。当外电路接通时，极板上的
电荷量减小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时
电动势仍是 E=Bdv，但路端电压将小于 Bdv。
在定性分析时特别需要注意的是：
⑴ 正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。
⑵ 外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于 Bdv，但
电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）
⑶ 注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终
将达到平衡态。
【例 2】 半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为 p型和 n型
两种。p型中空穴为多数载流子；n型中自由电子为多数载流子。
用以下实验可以判定一块半导体材料是 p型还是 n型：将材料
放在匀强磁场中，通以图示方向的电流 I，用电压表判定上下
两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是 p型半导体；若下极板电势高，就是 n型半
导体。试分析原因。
解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右 ，
所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p型半导体中空穴多，上极板的电势高；n
型半导体中自由电子多，上极板电势低。
注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所
以偏转方向相同。
3.洛伦兹力大小的计算
带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由
此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：
1
BR
＋ ＋ ＋ ＋
＋
+
－ － － － ―
I
【例 3】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B的匀强磁场。正、
负电子同时从同一点 O以与 MN 成30°角的同样速度 v射入磁场
（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场中射出时相距多远？射
出的时间差是多少？
解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半
径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距 2r，由图还
可看出，经历时间相差 2T/3。答案为射出点相距 ，时间差为 。关键是
找圆心、找半径和用对称。
【例 4】 一个质量为 m电荷量为 q的带电粒子从 x轴上的 P（a，0）
点以速度 v，沿与 x正方向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，
并恰好垂直于 y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B和射出点的
坐标。
解 ： 由 射 入 、 射 出 点 的 半 径 可 找 到 圆 心 O/， 并 得 出 半 径 为
；射出点坐标为（0， ）。
带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题
中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既
要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何
知识。
1、带电粒子在半无界磁场中的运动
【例 5】一个负离子，质量为 m，电量大小为 q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存
在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度 B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直
于图 1中纸面向里.
（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.
（2）如果离子进入磁场后经过时间 t到达位置 P，证明:直线 OP
与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是 。
解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运
动.设圆半径为 r，则据牛顿第二定律可得：
，解得
2
MN
B
O
v
y
x
o
B
v
v
a
O/
OB
S
v
θ
P
如图所示，离了回到屏S上的位置 A与O点的距离为：AO=2r
所以
（2）当离子到位置 P时，圆心角：
因为 ，所以 .
2．穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心
线）。偏角可由 求出。经历时间由 得出。
注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
【例 6】如图所示，一个质量为 m、电量为 q的正离子，从 A点正对
着圆心 O以速度 v射入半径为 R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B。要使带电粒子与圆筒内壁碰
撞多次后仍从 A点射出，求正离子在磁场中运动的时间 t.设粒子与圆
筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次
碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨
迹是对称的，如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞 n次（ ），则每相邻两次碰撞点之间
圆弧所对的圆心角为 2π/（n+1）.由几何知识可知，离子运动的半径
为
离子运动的周期为 ，又 ，
所以离子在磁场中运动的时间为 .
【例 7】圆心为 O、半径为 r的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向里的
匀强磁场，与区域边缘的最短距离为 L的O＇处有一竖直放置的荧屏 MN，今有一质量为 m
3
r v
Rv
O/
O
O
A v0
B
O
＇
M
N
L
A
O
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