《高三物理二轮复习23个专题》专题07：功和能
功 和 能
典 型 例 题
【例题 1】如图 1 所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平面作半径
为 R 的匀速圆周运动转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的
叙述中正确的是（ ）
A.绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功；
B.绳对小球有拉力作用,但小球没发生位移，所以绳对小球没做功；
C.绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移
为水平方向的 2R，所以绳对小球做了功；
D.以上说法均不对.
【分析与解】从表面上看似乎选项Ｃ说得有道理，但事实上由于绳对小球的拉力是方向
不断变化的变力，而变力做功与否的判断应该这样来进行：在小球转过半圆周的过程中任
取一小段圆弧，经考察发现小球在通过这一小段圆弧时所受拉力方向与这一小段位移垂直
因此可以断定在小球通过每一小段圆弧时绳均不对小球做功，由此可知此例应选 D.
【例题 2】把两个大小相同的实心铝球和实心铁球放在同一水平面上，它们的重力势能
分别为 和 ．若把它们移至另一个较低的水平面上时，它们的重力势能减少量分别
为 和 则必有（ ）
Ａ. ＜ Ｂ. ＞
Ｃ. ＜ Ｄ. ＞
【分析与解】如果重力势能的零势面比两球所处的水平面较低，则显然由于铁的密度较
大，同体积的铁球质量较大而使 ＜ ；但如就取两球心所在的水平面为重力势能零
势面，则又有 ＝ ＝0；当然若两球所在的水平面在重力势能的零势面下方，甚至可
以有 ＜ ＜0.考虑到重力势能的“相对性”，选项Ａ、Ｂ均不应选.但无论重力势能
的零势面如何选取，在两球下降相同高度的过程中，质量较大的铁球所减少的重力势能都
是较多的，所以此例应选择Ｃ.
【例题 3】如图 10－2 所示，质量分别为 、 的小球 、
分别固定在长为 的轻杆两端，轻杆可绕过中点的水平轴在
竖直平面内无摩擦转动，当杆处于水平时静止释放，直至杆转到
竖直位置的过程中，杆对小球 所做的功为 .
杆对小球 所做的功为 ．
【分析与解】在此过程中由于 、 构成的系统的机械能守
恒，因此系统减少的重力势能应与系统增加的动能相等．即
1
图1
图2
由此解得 、 两球转到杆处于竖直位置时的速度大小为
而在此过程中 、 两球的机械能的增加量分别为
所以，此过程中轻杆对Ａ、Ｂ两小球所做的功分别为
【例题 4】放在光滑水平面上的长木板，右端用细线系
在墙上，如图 3 所示，左端固定一个轻弹簧，质量为 的
小球，以某一初速度在光滑木板上表面向左运动，且压缩弹
簧，当球的速度减小为初速的一半时，弹簧势能为 ，这
时细线被拉断，为使木板获得的动能最大，木板的质量应等
于多少？其最大动能为多少？
【分析与解】先进行状态分析，当小球碰到弹簧后，小球将减速，当球的速度减小为初
速的一半时，弹簧势能为 ，即表示：
细线断后，小球继续减速，木板加速，且弹簧不断伸长，以整体来看，系统的机械能
守恒，若小球的速度减小为 0 时，弹簧恰好变成原长状态，则全部的机械能就是木板的动
能，此时木板获得的动能最大．
系统所受的合外力为 0，故动量守恒，
且
解得 ， ．
【例题 5】一个竖直放置的光滑圆环，半径为 ，
、 、 、 分别是其水平直径和竖直直径的端点．
圆环与一个光滑斜轨相接，如图 4 所示．一个小球从
与 点高度相等的 点从斜轨上无初速下滑．试求：
(1)过 点时，对轨道的压力 多大？
2
图3
图4
(2)小球能否过 点，如能，在 点对轨道压力 多大？如不能，小球于何处离开
圆环？
【分析与解】小球在运动的全过程中，始终只受重力 和轨道的弹力 ．其中，
是恒力，而 是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在
圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过
程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．
从小球到达圆环最低点 开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的
向心力总是指向环心 点，此向心力由小球的重力与弹力提供．
（1）因为小球从 到 机械能守恒 ，所以
①
②
③
解①②③得
（2 ）小 球 如 能沿圆环内壁滑动 到 点 ，表明小 球 在 点 仍在做圆 周运 动 ， 则
，可见， 是恒量，随着 的减小 减小；当 已经减小到零（表
示小球刚能到达）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小
球的速度是能过 点的最小速度．如小球速度低于这个速度就不可能沿圆环到达点．
这就表明小球如能到达点，其机械能至少应是 ，但是小球在 点出
发的机械能仅有 ＜ 因此小球不可能到达点．
又由于 ，
即
因此， ＞0，小球从 到 点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定是在 、
之间的某点 离开圆环的．设半径 与竖直方向夹 角，则由图可见，小球高度
④
根据机械能守恒定律，小球到达点的速度
应符合：
⑤
3
图5
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