《高考物理一轮复习考点扫描》专题3.10 动力学中的临界和极值问题（解析版）

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2021 年一轮考点扫描微专题

专题 3.10 动力学中的临界和极值问题

【考点扫描】

1．临界或极值条件的标志

(1)题目中“刚好”“恰好”“正好”等关键词句，明显表明题述的过程存在着临界点．

(2)题目中“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起

止点”一般对应着临界状态．

(3)题目中“最大”“最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临

界点．

2．常见临界问题的条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 FN＝0.

(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的

临界条件是 FT＝0.

(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零．

3．解题基本思路

(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；

(2)寻找过程中变化的物理量；

(3)探索物理量的变化规律；

(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．

4．解题技巧方法

极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达

到正确解决问题的目的

假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可

能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题

数学法将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件

【典例分析】

【例 1】(2020·山东师大附中模拟)(多选)如图所示，A，B两物块的质量分别为 2m和m，静止叠放在水平地

面上．A，B间的动摩擦因数为 μ，B与地面间的动摩擦因数为 μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速

度为 g.现对 A施加一水平拉力 F，则(　　)

A．当 F<2μmg 时，A，B都相对地面静止

B．当 F＝μmg 时，A的加速度为 μg

C．当 F>3μmg 时，A相对 B滑动

D．无论 F为何值，B的加速度不会超过 μg

【思路引导】 (1)判断 A与B间、B与地面间发生相对滑动的先后可以通过比较 A，B间的最大静摩擦力与

B与地面间最大静摩擦力的大小，若前者大于后者，则 B先相对地面滑动，反之则 A相对 B先滑动．

(2)A和B恰好一起加速运动不发生相对运动的受力条件是：A对B的静摩擦力达到最大静摩擦力．

(3)A，B不发生相对滑动，其加速度满足什么的条件是：A的加速度小于 B的加速度的最大值．

【答案】：BCD

【解析】：当 A，B刚要发生相对滑动时，A，B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即 f＝2μmg.对物块 B，

根据牛顿第二定律得2μmg－μ×3mg＝ma，解得a＝μg.对整体根据牛顿第二定律有 F－μ×3mg＝3ma，解得

F＝3μmg，可知当0<F>3μmg 时，A，B发生相对滑动．当 F<2μmg 时，即水平拉力小于 A，B之间的最大

静摩擦力，则 A，B不发生相对滑动；对整体分析，由于整体受到地面的最大静摩擦力 fm＝μ×3mg＝μmg，

当F≤μmg 时，A，B相对地面静止．当 F＝μmg<3μmg 时，A，B保持相对静止，对整体分析，F－μ×3mg＝

3ma，解得A的加速度为 μg.设B的最大加速度为 aBm，由牛顿第二定律得2μmg－μmg＝maBm，得aBm＝μg，

可知B的加速度不会超过 μg.

【规律总结】叠加体系统临界问题的求解思路

【例 2】如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为 m1＝4 kg

的物体 P，Q为一质量为 m2＝8 kg 的物体，弹簧的质量不计，劲度系数 k＝600 N/m，系统处于静止状态。

现给Q施加一个方向沿斜面向上的力 F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前 0.2 s 时间内

F为变力，0.2 s 以后 F为恒力，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取 g＝10 m/s2。求力F的最大值与最小值。

【审题指导】：

题干关键获取信息

光滑固定斜面无滑动摩擦力

系统处于静止状态可求出弹簧的压缩量

从静止开始沿斜面向上做匀加速运动初速度为零，加速度恒定

0.2 s 以后 F为恒力经过0.2 s，P和Q恰好分离

力F的最大值与最小值 t＝0时拉力最小，分离后拉力最大

【答案】　72 N　36 N

【解析】设开始时弹簧的压缩量为 x0，

由平衡条件得

(m1＋m2)gsin θ＝kx0

代入数据解得x0＝0.12 m

因前 0.2 s 时间内F为变力，之后为恒力，则 0.2 s 时刻两物体分离，此时 P、Q之间的弹力为零，设此时弹

簧的压缩量为 x1

对物体 P，由牛顿第二定律得kx1－m1gsin θ＝m1a

前0.2 s 时间内两物体的位移 x0－x1＝at2

联立解得a＝3 m/s2

对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大

Fmin＝(m1＋m2)a＝36 N

对Q应用牛顿第二定律得Fmax－m2gsin θ＝m2a

解得Fmax＝m2(gsin θ＋a)＝72 N。

【规律总结】动力学中几种典型的“临界条件”

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 FN＝0。

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是

静摩擦力达到最大值。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等

于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是 FT＝0。

(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件是加速度变为 0。

【例 3】倾角为θ＝45°、外表面光滑的楔形滑块 M放在水平面 AB 上，在滑块 M的顶端O处固定一细线，

细线的另一端拴一小球，已知小球的质量为 m＝ kg，当滑块 M以a＝2g的加速度向右运动时，细线拉力

的大小为(取g＝10 m/s2)(　　)

A．10 N B．5 N C. N D. N

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