专题6-2 数列求和15种类型归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 37 4 2.44MB 34 页 3知币

专题 6-2 数列求和 15 种类型归纳

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】求和思维基础：sn 和an 的关系..................................................................................................1

【题型二】错位相消法求和的三种思维方法................................................................................................2

【题型三】分组求和.........................................................................................................................................5

【题型四】求和难点 1：裂项相消基础思维.................................................................................................6

【题型五】求和难点 2：形如函数型裂项相消..............................................................................9

【题型六】求和难点 3：指数型裂项相消求和...........................................................................................10

【题型七】求和难点 4：指数等差型裂项相消求和...................................................................................12

【题型八】求和难点 5：奇偶正负型裂项相消求和...................................................................................14

【题型九】求和难点 6：裂项为“和”型以相消求和...............................................................................16

【题型十】求和难点 7：指数型裂项为“和”以相消求和.......................................................................17

【题型十一】求和难点 8：无理根式型裂项相消...........................................................................................19

【题型十二】求和难点 9：三项积式裂项相消求和.......................................................................................21

【题型十三】求和难点 10：先放缩后裂项求和.............................................................................................22

【题型十四】求和难点 11：利用组合数公式裂项求和（理科）.................................................................24

【题型十五】求和难点 12：分段数列求和.....................................................................................................24

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................27

说明：为了达到更有针对性的复习，大题只提供求求和那一问的解答，略去后续非求和的解答

【题型一】求和思维基础：由 sn 求an 的关系

【典例分析】

已知数列{an}的前 n项和．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记，求{bn}的前 n项和 Tn．

【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝3﹣（n+3）•（）n

【详解】（1）数列{an}的前 n项和，可得 a1＝S1＝2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，（n≥2），适合 .

综上可得 an＝2n；

【提分秘籍】

基本规律

对于公式

（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当

时的表达式；

（2）当时，求出；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式

合写；如果不符合，则应该分与两段来写．

【变式演练】

1.数列的前 n项和为（），求

【详解】因为，

所以，

当时，，

适合上式，故，

2.已知数列的前项和为，且满足 .

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和 .

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）当时，，

当且时，，

当时，适合上式，所以数列的通项公式 .

【题型二】错位相消法三种思维求法

【典例分析】

（2020 年新课标 1理数 17 题）设是公比不为 1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

解：（1）设的公比为，由题设得即 .

所以解得（舍去）， .故的公比为 .

（2）设为的前 n项和.由（1）及题设可得， .所以

，

可得

所以 .

【提分秘籍】

基本规律

以下三种思维，但还是建议练熟第一种。如果第一种都掌握不了的学生，基本上也记不住第二和第三种方

法。

1.思维结构结构图示如下

2.公式型记忆：

3.可可裂项为如下

【变式演练】

1.已知数列中，，，前项和为，若（，且）.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和 .

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出，再求出即得解；

（2）求出，再利用错位相减法求数列的前项和 .

【详解】

（1）数列中，（，且）①，

又（，且）②，

可得：，

则数列是以为首项，公差为 1的等差数列，

则，则，

当时，，也符合该式，

则.

（2）由（1）的结论得，，则；则，

∴ ，

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