《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第32讲 排列组合问题（解析版）

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第32 讲 排列组合问题
方法总结：
一、处理排列组合问题的常用思路：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
2、寻找对立事件
3、先取再排（先分组再排列）
二、排列组合的常见模型
1、捆绑法
2、插空法
3、错位排列
4、依次插空
5、不同元素分组
6、相同元素分组：隔板法
7、涂色问题：
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从
点到 点的最短路径的走法有___种．
【答案】7.
【解析】
【详解】
分析：根据题意，从 A到B的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，注意图
中有空格，注意排除，计算可得答案．
详解：根据题意，从 A到B的最短路程，只能向左、向下运动；
从A到B，最短的路程需要向下走 2次，向右走 3次，即从 5次中任取 2次向下，剩下 3次向右，有
种情况，但图中有空格，故是方法数为 中
故答案为 7.
点睛：本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得
到答案．
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程 的非负整数解共有___________组．
【答案】
【解析】
【分析】
将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法.
【详解】
将方程的解看成 11 个1放在 3个小盒的方法，可以将 11 个1和3个小盒，共 14 个元素，分成 3组，每组
至少 1个，采用隔板法，14 个元素之间 13 个位置，隔 2块板，共有 种方法，
所以方程 的非负整数解共有 组.
故答案为：78
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域
只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作
答
【答案】180
【解析】
【分析】
将图形中四个板块分别记为 ，按照 、 不同色和 、 同色，分两类计数再相加，可得结果.
【详解】
将图形中四个板块分别记为 ，如图：
当 、 不同色时，有 种涂色方案；
当 、 同色时，有 种涂色方案，
根据分类加法计数原理可得共有 种涂色方案.
故答案为： .
例4．（2022·江苏·高三专题练习）将 4个相同的白球、5个相同的黑球放入 4个不同盒子中的 3个中，使
得有 1个空盒且其他 3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有____种． 用数字作答
【答案】72
【解析】
【分析】
根据分步乘法计数原理，先选盒子、再取白球，最后取黑球，利用组合数将每一步对应的方法数求出然后
相乘即可得到不同的放法数.
【详解】
解：首先从 4个盒子中选取 3个，共有 种取法；
假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑．
由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白两色，所以每个盒子中至少有一个白球，一个黑球．
这样白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共 种放法，
黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，
这里有两种情况：①两个球放入同一个盒子，有 3种放法．②两个球放入不同的两个盒子，有 3种放法．
综上，黑球共 6种放法．
所以总共有 种不同的放法．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是分析 个黑球和 个白球如何分配到三个盒子中（不均分的情况）且每个
盒子中两种球都有，采用分步的思想是最合理的，分别考虑两种球的放法数.
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