《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第31讲 圆锥曲线定点定值问题（解析版）

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第31 讲 圆锥曲线定点定值问题
方法总结：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ）
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立。
2.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常
数。
3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，点 及点
都在椭圆 上，若直线 与直线 的倾斜角互补.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：直线 的斜率为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得 ，即求；
（2）由题可设直线 的方程为 ，利用韦达定理可得求点 A、B的坐标，然后利用斜率公式
计算即得.
(1)
依题意 ，化简得 ，
解得 或 （舍去），
，
故椭圆 的标准方程为 .
(2)
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，设 ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得 ， ，
∴ ，
即直线 的斜率为定值.
例2．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知椭圆 的焦距为 ，左､右焦点分别是
，其离心率为 ，圆 与圆 相交，两圆交点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 不经过 点且与椭圆 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明：直
线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出等式，求得 ，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合直
线 与直线 的斜率之和为 化简整理可得参数之间的关系式，即可证明结论.
(1)
由题意得 ，
由圆 与圆 相交，两圆交点在椭圆 上，
可知： ，又 ，
解得：
所以椭圆 的方程为： .
(2)
证明：①当直线 的斜率不存在时，设直线 ，
由题意可知 ，且 ，设 ，
因为直线 的斜率之和为 ，所以 ，
化简得 ，所以直线 的方程为 .
② 当直线 的斜率存在时，
设 方程为 ，
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