《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第29讲 圆锥曲线参数的范围问题（解析版）

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第29 讲 圆锥曲线参数的范围问题
方法总结：
解决此类问题的策略：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量
与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为
（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，
解不等式即可
（3）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（4）利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
（5）利用基本不等式求出参数的取值范围；
（6）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 F，离心率为 ，点
是椭圆 C上一点.
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若M､N为椭圆 C上不同于 A的两点，且直线 关于直线 对称，设直线 与 y轴交于点
，求 d的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的离心率公式和 ， ， 的关系，以及点 是椭圆 C上一点，可得 ， ， ，进而
得到所求椭圆方程；（2）设直线 AM 的斜率为 ，由对称性可得直线 AN 的斜率为 ，求得直线 AM 的方
程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得 M的横坐标，将其中的 换为 ，可得 N的横坐标，求得 MN 的
斜率和方程，联立椭圆方程，由判别式大于 0，结合 M，N的位置，解不等式可得所求范围.
(1)
∵ ， ，
∴ ①
又 在椭圆 C上，
∴ ②
由①②解得 ， ，
所以所求椭圆标准方程为
(2)
由（1）知 ，∴ 轴，设直线 的斜率为 k，因为 ， 关于直线 对称，
所以直线 的斜率为 ，
又 ，所以直线 的方程是 ，
设 ， ，
，
所以 ，将上式中的 k换成 得， ，
所以 ，
所以直线 的方程是 ，
代入椭圆方程 得 ，
所以 ，解得 ，
又由题意知点 M，N在A点两侧，而直线 中，当 时， ，故 .
例2．（2022·北京八中高三开学考试）已知圆 ： ， ， 为圆 上的动点，若线
段 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 为 上一点，过 作斜率互为相反数且不为 0的两条直线 ， 分别交曲线 于
， ，求 的取值范围.
【答案】(1)动点 的轨迹 的方程为 ；
(2) 的取值范围 .
【解析】
【分析】
(1)由条件线段 的垂直平分线交 于点 可得 ，由此可得 ，根据椭圆的定义可
得点 的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点 的轨迹 的方程；(2)由(1)可求点 坐标，设直线
的方程为 ， ，联立方程组化简可得 ， ，由直线 ， 的斜率互为
相反数可得 的值，再由弦长公式求 的长，再求其范围.
(1)
由题知
故.
即
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