《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第28讲 圆锥曲线的面积问题（原卷版）

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第28 讲 圆锥曲线的面积问题
方法总结：
1、面积问题的秒杀总结：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和
2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可
将面积的关系转化为线段的关系
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，
典型例题：
例1．（2022·山西吕梁·一模（文））已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 是椭圆 C
的左右焦点，且右焦点 与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过左焦点 且与 x轴不重合的直线交椭圆于 A，B两点，求 面积的取值范围.
例2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F既是椭圆 的右
焦点，又是抛物线 的焦点． 和 在第一象限内交于 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过 的动直线 l与 交于 A，B
．
直线 OA 与 交于 M，N，直线 OB 与 交于 P，Q．记四边形
MPNQ 的面积为 ， 的面积为 ．求 的最大值．
例3．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点 M是椭圆 C： 上一点， ， 分别
为椭圆 C的上、下焦点， ，当 ， 的面积为 5.
(1)求椭圆 C的方程：
(2)设过点 的直线 和椭圆 C交于两点 A，B，是否存在直线 ，使得 与 （O是坐标原点）的
面积比值为 5：7.若存在，求出直线 的方程：若不存在，说明理由.
例4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知抛物线 上的任意一点到焦点的距离比到 y轴的
距离大 .
(1)求抛物线 C的方程；
(2)过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，若三角形 ABP 的重心 G在定直线
上，求三角形 ABP 面积的最大值.
例5．（2022·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆 过点 ，且离心率为
.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)在y轴上是否存在点 M，过点 M的直线 l交椭圆 C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形 的面
积 ？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由.
过关练习：
1．（2022·重庆长寿·高三期末）已知曲线 过点 和 ．
(1)求曲线 C的方程，并指出曲线类型；
(2)若直线 2x－y－2＝0与曲线 C的两个交点为 A，B，求△OAB 的面积（其中 O是坐标原点）．
2．（2022·陕西武功·二模（文））已知抛物线 上的点 到准线的距离为 5.
(1)求抛物线 C的方程；
(2)过点 的直线与抛物线 C交于 A，B两点，与 x轴交于点 ，圆 与 x轴交
于点 M，求 面积的最小值.
3．（2022·福建福州·高三期末）定义：若点 ， 在椭圆 上，并且满
足 ，则称这两点是关于 M的一对共轭点，或称点 关于 M的一个共轭点为 .已
知点 在椭圆 ，O坐标原点.
(1)求点 A关于 M的所有共轭点的坐标；
(2)设点 P，Q在M上，且 ，求点 A关于 M的所有共轭点和点 P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
4．（2022·江西九江·一模（文））在直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 F，过点
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