《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第28讲 圆锥曲线的面积问题（解析版）

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第28 讲 圆锥曲线的面积问题
方法总结：
1、面积问题的秒杀总结：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和
2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可
将面积的关系转化为线段的关系
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，
典型例题：
例1．（2022·山西吕梁·一模（文））已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 是椭圆 C
的左右焦点，且右焦点 与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过左焦点 且与 x轴不重合的直线交椭圆于 A，B两点，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的方程可求 ，根据离心率可求 ，再求出 后可得椭圆方程.
（2）设直线 方程为 ，设 ， ，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达
定理得到面积的表达式，利用换元法和导数可求面积的最大值.
(1)
易知抛物线 的焦点为 ，所以 ，
又因为离心率 ，所以 ，
又因为 所以椭圆 C的方程为
(2)
由题意设直线 方程为 ，设 ，
与椭圆方程联立 消去 得： ，易知
所以 ，
所以
因为 到直线 的距离为
所以
设 ，则 ，
设 ，则 ，所以 在 单调递增，
所以 ，即三角形 面积的取值范围为
例2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F既是椭圆 的右
焦点，又是抛物线 的焦点． 和 在第一象限内交于 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过 的动直线 l与 交于 A，B
．
直线 OA 与 交于 M，N，直线 OB 与 交于 P，Q．记四边形
MPNQ 的面积为 ， 的面积为 ．求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 ，将点 K坐标分别代入椭圆和抛物线方程，即可求得 a
，
b值，即可得答
案.
（2）由（1）知 的标准方程为 ，设直线 l的方程为 ，与抛物线联立，结合韦达定理，
可得 ，设设直线 MN 的方程为 ，与椭圆联立，可得 ，与抛物线联立，可求得 ，用
代替 k可得 和 ，进而可得 表达式，结合基本不等式，即可得答案.
(1)
由题可知 ，解得 ，
所以 的标准方程为 ．
(2)
由（1）知 的标准方程为 ．
设 ， ，直线 l的方程为 ．
联立 ，得 ．
由韦达定理得 ，
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