《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第27讲 直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）

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第27 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
方法总结：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 ，至于 坐标是否需要解出，则看
题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于 （或 ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，
则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。
2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主
要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形
式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。
3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式： ，此直线不能表示竖直线。
（2） ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 ， 上两点 ，所以
或
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
典型例题：
例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆 C：(，)的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，直线 被 C截得的线段长为 .
(1)求C的方程：
(2)若A和B为椭圆 C上在 x轴同侧的两点，且 ，求四边形 面积的最大值及此时 的值.
例2．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知双曲线 的焦距为 4，直线
l： 与 交于两个不同的点 D､E，且 时直线 l与 的两条渐近线所围成的三角形
恰为等边三角形.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若坐标原点 O在以线段 DE 为直径的圆的内部，求实数 m的取值范围；
(3)设A､B分别是 的左､右两顶点，线段 BD 的垂直平分线交直线 BD 于点 P，交直线 AD 于点 Q，求证：
线段 PQ 在x轴上的射影长为定值.
例3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆 的左右焦点分别为
， ，且椭圆 C上的点 M满足 ， .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若在 x轴上存在一点 E，使得过点 E的任意一条直线 l与椭圆的两个交点 P、Q，都有 为定
值，试求出此定值.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ： ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴，
与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ．
(1)证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值；
(2)若直线 的方程为 ，延长线段 与椭圆 交于点 ，四边形 为平行四边形，求椭圆 的
方程．
例5．（2022·河南安阳·二模（文））已知椭圆 的右焦点为 F，点 A，B，P在椭圆 C上．
(1)若线段 AB 的中点为 ，求直线 AB 的方程；
(2)若F恰好是△ABP 的重心，且 ， ， 依次成等差数列，求点 P的坐标．
例6．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆 C： 的离心率为 ，直线
与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若直线 l： ，试问在 x轴上是否存在一定点 M，使得过 M的直线交椭圆于 P，Q两点，交 l于N，且
满足 ，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
过关练习：
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知椭圆 的离心率 ，椭圆上
的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)设过椭圆 C右焦点的直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，满足 k1•k2＝﹣2，l1交C于点 E，F，l2交C于点
G，H，线段 EF 与GH 的中点分别为 M，N．判断直线 MN 是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定
点，请说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C： 过点 A(2，0)，B(0，1)两点.
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