《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第25讲 利用空间向量解立体几何问题（原卷版）

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第25 讲 利用空间向量解立体几何问题
方法总结：
空间向量可解决的立体几何问题（用 表示直线 的方向向量，用 表示平面 的法向量）
1、判定类
（1）线面平行：
（2）线面垂直：
（3）面面平行：
（4）面面垂直：
2、计算类：
（1）两直线所成角：
（2）线面角：
（3）二面角： 或 （视平面角与法向量夹角关系
而定）
（4） 点 到 平 面 距 离 ： 设 为 平 面 外 一 点 ， 为 平 面 上 任 意 一 点 ， 则 到 平 面 的 距 离 为
，即 在法向量 上投影的绝对值。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且
.
(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，请问在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小
为 ，若存在请求出 的位置，不存在请说明理由.
例2．（2022·贵州贵阳·高三期末（理））如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面
， 为垂足.
(1)当点 在线段 上移动时，判断 是否为直角三角形，并说明理由；
(2)若 ，且 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小.
例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 ABCD 中， ,， ，沿对
角线 AC 将△ACD 翻折成△ ，使得 .
(1)证明： ；
(2)若 为等边三角形，求二面角 的余弦值.
例4．（2022·安徽淮北·一模（理））如图，已知圆 的直径 长为 4，点 是圆弧上一点， ，
点 是劣弧 上的动点， 点是另一半圆弧的中点，沿直径 ，将圆面折成直二面角，连接
.
(1)若 面 时，求 的长；
(2)当三棱锥 体积最大时，求二面角 正切值.
例5．（2022·江苏泰州·高三期末）如图，在三棱锥 中， .
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