《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第24讲 新信息背景下的数列问题（解析版）

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第24 讲 新信息背景下的数列问题
方法总结：
解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义
与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结
论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识
与方法。
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复
杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）对于数列 ，规定数列 △ 为数列 的一阶差分数列，其中△
；一般地，规定 △ 为 的 阶差分数列，其中△ △ △ ，且
， ．
(1)已知数列 的通项公式 ．试证明 △ 是等差数列；
(2)若数列 的首项 ，且满足△ △ ， ，求数列 及 的通项公
式；
(3)在（2）的条件下，判断 是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
(3)存在，-28
【解析】
【分析】
（1）根据定义可得 ，然后可证明；
（2）由条件可得 ，然后可得 ，然后利用累加法可求出 ，然后可得答案；
（3）令 ，然后利用函数 的单调性可得答案.
(1)
证明：依题意，△ ，
，
△ △ ，
△ ，
△ 是首项为 1，公差为 5的等差数列．
(2)
△ △ ， ，
△ △ △ ，
△ ， ，
， ，
当 时，
，
，
当 时， 也满足上式，
．
(3)
， ，
令 ，则 ，
则当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增，
而 ，
，即 时， 存在最小值，其最小值为 ．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，前 项和为 ．设 与 是常数，
若对一切正整数 ，均有 成立，则称此数列为“ ”数列．
(1)若等差数列 是“ ”数列，求 的值；
(2)若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据定义得 ，化简得 ，进而得出 对一切正整数 均成立，从而
可求出 的值；
（2）由题可知 ，根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，
求得 ，最后根据 ，即可求出数列 的通项公式.
(1)
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