《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第23讲 数列中的整数问题与不定方程（解析版）

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第23 讲 数列中的整数问题与不定方程
方法总结：
1.整数性质的应用：
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通
常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式
次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两
个：
① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，
进而解出变量
② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一
个范围内，再利用整数离散性求得参数的值
（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：
① 所解得变量非整数，或不符合已知范围
② 等式两侧为一奇一偶
典型例题：
例1．已知数列 中， ， ， 为数列 的前 项和．数列 满
足 ．
（1）证明：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 问是否存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列？若存
在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由 可得：
，
，
，
，
，
，
将以上式子相加可得： ，
， ，
又 也适合上式，
，
，
数列 是首项、公差均为 1的等差数列， ；
（2）解：由（1）可得 ，
，
假设存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，
又 ，可解得： 或 ，
故存在 或 ，使得 ， ， 成等差数列．
例2．已知数列 满足条件 ， ，令
（Ⅰ）写出数列 的前四项；
（Ⅱ）求数列 的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数 ， ，使得数列 成等差数列？若存在，求出 ， 满足的关系式；若
不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）在 ，中，
由 ， ． ；
， ， ，
（Ⅱ）由（1）知 ， ， ，
．由此猜测 ．
下面用数学归纳法证明：
①当 时猜想显然成立；
②假设 猜想成立，即 ，则有 ，
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