《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第20讲 求数列的通项公式（解析版）

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专题 20 求数列的通项公式
方法总结：
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为： ，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于 的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为： ，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整
体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如 的形式
思路：观察到 与 有近似 3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对 与 分别加上同
一个常数 ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出
（2）形如 ，此类问题可先处理 ，两边同时除以 ，得 ，进而构造成
，设 ，从而变成 ，从而将问题进行转化
（3）形如： ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的形式
（4）形如 ，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边
项的系数对中间项进行拆分，构造为： 的形式
4、题目中出现关于 的等式：一方面可通过特殊值法（令 ）求出首项，另一方面可考虑将等式
转化为纯 或纯 的递推式，然后再求出 的通项公式。
5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项
的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。
6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明
典型例题：
例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）利用 与 的关系可得，数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，即求；
（2）利用错位相减法即求.
(1)
∵，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
∴，即 ，
∴，即 ，
∴数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，
∴，
故数列 的通项公式为 .
(2)
∵，设数列 的前 项和为 ，
∴，
，
∴
，
∴，
∴数列 的前 项和为 .
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列 满足 ， ，且对任意 ，都有
．
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求使得不等式 成立的最大正整数 m．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
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