《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第17讲 均值不等式（原卷版）

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第17 讲 均值不等式
方法总结：
1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
① 求和的式子→乘积为定值
② 乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始
范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知 （ 为常数），求 的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于
分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后
利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知 ， （ ， ），若 ，则
的最小值为__________．
例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知 a，b均为正数且满足 ，则 ，的最小值为_______
____.
例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数 x，y满足 x＋y＝1，则 的最小值为__________．
例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知 a，b为正实数，且 ，则 的最小值为______．
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数 x，y满足 ，则 的最小值是___________.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 最小值为________
例7．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，则 的最小值为________
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，若 ，则 的最小值为____
____
例9．（2022·全国·高三专题练习）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为________
过关练习：
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若 ， ， ，则 的最小值等于
（ ）
A．2 B．C．3 D．
2．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆 （ ）和
（ ）恰有三条公切线，则 的最小值为（ ）
A．B．C．1 D．2
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））当 时，函数 的最小值为（ ）
A．2 B．C．4 D．
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数 ，满足 ，若不等
式 对任意的正实数 恒成立，那么实数 m的最大值为（ ）
A．B．C．3 D．
6．（2022·广东·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列 }中，存在两项 且 ，使得
，且 ，则 的最小值是（）
A．B．C．D．
8．（2022·福建宁德·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．B．8 C．D．10
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知 为正实数， ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
10．（2022·广东·金山中学高三期末）已知 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知函数 的图像恒过的定点 ，且 点在
直线 上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知 ，满足 ，则 的最小值是（ ）
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