《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第17讲 均值不等式（解析版）

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第17 讲 均值不等式
方法总结：
1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
① 求和的式子→乘积为定值
② 乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始
范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知 （ 为常数），求 的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于
分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后
利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知 ， （ ， ），若 ，则
的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
由 ，列方程化简变形可得 ，从而 ，然后利用基本不等式
可得答案
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 取等号，
所以 的最小值为 16，
故答案为：16
例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知 a，b均为正数且满足 ，则 ，的最小值为_______
____.
【答案】8
【解析】
【分析】
巧用值的代换拼凑 ，展开利用基本不等式即求得最小值.
【详解】
因为 ，
故 ，
当且仅当 时即 时等号成立，故最小值为 8.
故答案为：8.
例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数 x，y满足 x＋y＝1，则 的最小值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
利用基本不等式来求得最小值.
【详解】
由题意可知， ＝ ＝ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y）
＝4＋5＋ ＋ ≥9＋2＝ ，
当且仅当 ＝ ， 时取等号， 此时 ，
故 的最小值为 ．
故答案为：
例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知 a，b为正实数，且 ，则 的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用已知化简可得 ，根据基本不等式计算即可.
【详解】
由已知条件得， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故答案为：6.
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数 x，y满足 ，则 的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式得出 ，再由 得出最值.
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