《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第16讲 平面向量范围与最值问题（原卷版）

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第16 讲 平面向量范围与最值问题
方法总结：
1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换
等方法解决.
2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题
转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，当 与
所成角 最大时，则 ______
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，向量 与向量 的夹角为 ，
，向量 与向量 的夹角为 ，则 的最大值为___________.
例3．（2022·全国·高三专题练习）锐角 中，角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，设 的
面积为 ，若 ，则 的最大值为_______________________.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 是平面内的两个非零向量，则当 取最大值
时， 与 夹角为________．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为______.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在 中.，平面内有动点 满足
，则数量积 的最大值是___________.
例7．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知平面向量 ， ，满足 ，
，则 的最小值是___________.
例8．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量 ， 夹角为 ，且 ，若 ，则
的最小值为_______________．
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圆 的半径是 3， 是圆 内一动点，且 ， 是圆 上的
两个动点.若 ，则 的取值范围是___________.
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）设向量 ， ， ， ，点 在
内，且向量 与向量 的夹角为 ，则 的取值范围是____________．
过关练习：
1．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知菱形 ABCD 的边长为 2，设 ，若
恒成立，则向量 在 方向上投影的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．（2022·海南·模拟预测）在直角梯形 ABCD 中， ， ，且 ， .若线段 CD
上存在唯一的点 E满足 ，则线段 CD 的长的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））点 M在边长为 2的正三角形 内（包括边界），满足
，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）半径为 4的圆 上有三点 ，满足 ，点
是圆 内一点，则 的取值范围为（）
A．B．C．D．
5．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 120°，记
， 的取值范围为（）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0，6)，点 P在圆 O：x2
＋y2＝50 上，若 · ≤20，则点 P的横坐标的取值范围是（）
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2，0]
7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 O的方程为 ，过圆 O外一点 作圆 O的两条切线
PA，PB，切点分别为 A､B，若 ，则 的取值范围为（）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知平面向量 ， 满足 ， ，
则 的取值范围是（）
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