《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第16讲 平面向量范围与最值问题（解析版）

3.0 envi 2025-03-07 18 4 2.46MB 42 页 3知币
侵权投诉
第16 讲 平面向量范围与最值问题
方法总结：
1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换
等方法解决.
2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题
转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，当 与
所成角 最大时，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：记 ， ， ，由条件可得 ，由此确定点 C的轨迹，则 与 的
夹角为 ，证明当 C为过 ， 两点的圆 与圆 相外切时的切点时， 最大，设圆 的半径为
，再由正弦定理可得 ，利用余弦定理求得 ，由此可得 ，方法二：以 O为原点，
OA，OB 为x，y轴建立坐标系，求点 C的轨迹，则 与 的夹角为 ，证明当 C为过 ， 两
点的圆 与圆 相外切时的切点时， 最大，由 求点 E的坐标，由此可求 .
【详解】
解：记 ， ， ，
则 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为 1的圆．过 ， 两点的圆 与圆 相外切，记切点为 ，此时
最大（如图）．
下证上述结论：取圆 上不同于切点 的 点，因为 在圆 的外面，
所以 ．
下面求当 最大时， 的值．
记圆 的半径为 ，则 ．
所以只需求出圆 的半径为 即可．
法一：如右图， 为弦 的中点，
在 中，由余弦定理求得 ，
，则 ．
在 中， ， ， ， ，
由余弦定理得， ．
即 ．
法二：如图建系， ， ， ，点 在以 为圆心，1为半径的圆上．
以 为弦长作圆 ，当圆 与圆 外切时 最大．
圆心 在弦 的中垂线 上，设 ，
则 ，
即 ，
化简得 ，即 或 （舍去），
此时 ，得 ．
故答案为： .
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： ，向量 与向量 的夹角为 ，
，向量 与向量 的夹角为 ，则 的最大值为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】
如图所示，设 先证明 四点共圆，求出 ，再利用余弦定理和
重要不等式求解.
【详解】
《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第16讲 平面向量范围与最值问题（解析版）.docx

共42页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：42 页 大小：2.46MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 42
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注