《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第15讲 解三角形中的范围与最值问题（解析版）

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第15 讲 解三角形中的范围与最值问题
方法总结：
1.解三角形中处理范围与最值问题的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化
为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值
典型例题：
例1．（2022·海南·模拟预测）在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 .
(1)求角 C的大小；
(2)若 的面积 ，求 ab 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)48.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及三角形内角的性质可得 ，即可得 C的大小；
（2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求 ab 的最小值，注意等号成立条件.
(1)
由已知及正弦定理得： ，又 ，
所以 ，即 且 ，
所以 .
(2)
由题意知： ，即 ，
由余弦定理知： ，即 ，因此 ，当且仅当 时取等号，
所以 ab 的最小值为 48.
例2．（2022·重庆·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 的面积为 1.
(1)若 ，边 上的高分别为 ，求 ；
(2)当 取最小值时，求 的周长.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由已知及余弦定理、三角形内角的性质可得 ，根据三角形的面积公式有 、
即可求 .
（2）由三角形面积公式可得 根据基本不等式可得 求 的范围并确定等号成立
条件，进而可得 a
、
b
、
c，即可知 的周长.
(1)
则 ，且 ，
∴ ，
的面积为 1，
可得 ，
又 则 ，
.
(2)
则
，当 时等号成立且 ，即 ，
代入 得： 即 故 ，
∴ 则
∴周长为 .
例3．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知锐角 的内角 A，B，C的对边分别为
a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 a的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)化成含 的一元二次方程求解；
(2)利用余弦定理和基本不等式求最小值.
(1)
因为 ，所以 ，
所以， 或 （舍去）．
又 为锐角三角形，所以 ．
(2)
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