《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第14讲 解三角形（解析版）

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第14 讲 解三角形
方法总结：
1.解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
2.三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：设 为 的一条中线，则
（2）角平分线定理：设 为 中 的角平分线，则
3.三角形面积公式：
（1） （ 为三角形的底， 为对应的高）
（2）
（3） （ 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
（5）向量方法： （其中 为边 所构成的向量，方向任意）
典型例题：
例1．（2022·福建福州·高三期末）记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
.
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)设点 D在边 AC 上，若 ， ，求 的值.
【答案】(1) 为等腰三角形或直角三角形；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后再利用三角恒等变换化简变形即可判断三角形的形状；
（2）由已知条件结合正弦定理可得 ，从而根据（1）中结论分两种情况分别求解即可得答案.
(1)
解：由已知条件，利用正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
由于 、B、 ，
所以 或 ，
所以 或 B=C，
所以 为等腰三角形或直角三角形；
(2)
解：在 中，由正弦定理得 ，即 ，
同理在 中，有 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
由（1）可知 或 ，
若 ，则 ， 所以 ,
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 BD 平分 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
若 ，则 为直角三角形，BD 为斜边，则 ，与题设矛盾，故舍去；
综上， 的值为 .
例2．（2022·福建漳州·一模）设 的内角 A，B，C所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求C；
(2)若 ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据条件化简后由余弦定理可求；
（2）由正弦定理及 可得 ，利用面积公式求解即可.
(1)
由
得 ，
即 ，
所以
因为
所以
(2)
由正弦定理得 ，
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