《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第13讲 三角函数的性质与变换（解析版）

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第13 讲 三角函数的性质与变换
方法总结：
1.常见三角函数的值域类型：
（1）形如 的值域：使用换元法，设 ，根据 的范围确定 的范围，然后再
利用三角函数图像或单位圆求出 的三角函数值，进而得到值域
（2）形如 的形式，即 与 的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角
函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处
理
2.正弦函数 的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）：
（5）对称中心（零点）： ，其中 是对称中心，故 也是奇函数
（6）单调增区间： ；单调减区间：
3.余弦函数 的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点）： 其中 是对称轴，故 也是偶函数
（5）对称中心（零点）：
（6）单调增区间： ； 单调减区间：
4.正切函数 的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称中心：
（5）零点：
（6）单调增区间：
5. 的性质：此类函数可视为正弦函数 通过坐标变换所得，通常此类函
数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。
6.函数图像的平移变换：
（1） ： 的图像向左平移 个单位
（2） ： 的图像向右平移 个单位
（3） ： 的图像向上平移 个单位
（4） ： 的图像向下平移 个单位
7.函数图像的放缩变换：
（1） ： 的图像横坐标变为原来的
（2） ： 的图像纵坐标变为原来的 倍
典型例题：
例1．（2022·广东五华·一模）已知函数 ．
(1)若 且 ，求 的值；
(2)记函数 在 上的最大值为 b，且函数 在 上单调递增，求实数 a的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)化简 f(x)解析式，根据 求值即可；
(2)求出 f(x)的最大值 b，求出 f(x)的单调递增区间，求出与已知区间 对应的增区间 A，则 是
区间 A的子集.
(1)
，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
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