《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第11讲 利用导数解决零点问题压轴题（原卷版）

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第11 讲 利用导数解决零点问题压轴题
方法总结：
1.函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:
（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；
（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；
（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.
3.利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
f
(
x
)
=0
分离变量得出
a=g
(
x
)
，将问题等价转化为直线 与函数
y=g
(
x
)
的图
象的交点问题.
典型例题：
例1．（2022·北京朝阳·高三期末）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在 处切线的斜率；
(2)求函数 的极大值；
(3)设 ，当 时，求函数 的零点个数．并说明理由．
例2．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数 ， ， ．
(1)当 时，函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)当 时，不等式 有且仅有两个整数解，求 的取值范围．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．其中 ． ．
(1)讨论 的单调性；
(2)设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的正
实数 ，都有 ；
(3)设 ，若关于 的方程 为实数）有两个正实根 ， ，求证： ．
例4．（2022·辽宁大连·高三期末）已知函数 ，其中 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 的最小值为 ，试证明：函数 有且仅有一个零点.
例5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数
f
(
x
)
=
(
a−2
)
x−ln x
(
a∈R
)
．
(1)当
a=3
时，求 的最小值；
(2)若函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
+a x2
有两个不同的零点，求 的取值范围．
例6．（2022·浙江·高三期末）已知函数
.
(1)若 在
[
0,π
2
]
单调递增，求实数 a的取值范围；
(2)若不等式
f
(
x
)
≥cos x
在
(−1,+∞)
上恒成立，判断函数 在
(
−1,1
)
上的零点个数，并说明理由.
例7．（2022·江苏海门·高三期末）设函数
f
(
x
)
=a
(
x+1
)
2−2sin x
．
(1)若曲线 在点
(
0, f
(
0
)
)
处的切线方程为
kx −y+2=0
，求 的值；
(2)若
f
(
x
)
≥1
，求实数 的取值范围；
(3)求证：当 时，函数 不存在零点．
过关练习：
1．（2022·四川·模拟预测（理））已知函数 ，曲线 在点 处的切线
为l.
(1)求l的方程；
(2)是否存在实数 a，使得 l与函数 的图象有 2个不同公共点？若存在，求 a的值或取值范围；若不存在，
请说明理由.
2．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数．
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有三个不同的零点，求 a的取值范围.
4．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知函数 f(x)=x+－(a-1)lnx-2，其中 a∈R.
(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为 0，求 a的值；
(2)讨论 f(x)在区间［1，e]上的零点个数．
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