《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第10讲 不等式的恒成立与有解问题（解析版）

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第10 讲 不等式的恒成立与有解问题
方法总结：
1.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2.最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值
法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数 的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围，观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无
论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
3.参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 为自变量，其范围设为 ， 为函数； 为参数，
为其表达式）
（1）若 的值域为
① ，则只需要
，则只需要
② ，则只需要
，则只需要
③ ，则只需要
，则只需要
④ ，则只需要
，则只需要
4.多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为 3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已
知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值
（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双
变量表达式的最值即可。
典型例题：
例1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
① 若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小整数值；
② 若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2)① 1；② .
【解析】
【分析】
(1)求函数 的定义域并求出导数 ，解不等式 和 即可作答.
(2)选①，由给定不等式分离参数并构造函数，探求函数的最大值即可得解；
选②，由给定不等式变形，构造函数 ，借助导数分类讨论 有解即可.
(1)
的定义域为 ， ，令 ，得 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
选择①：
当 时， 恒成立，即 恒成立，令 ， ，则
，
令 ，则 ，即函数 单调递减，
而 ， ，则 在区间 上存在一个零点 ，
使得 ，即 ，
当 时， ，则 ，函数 单调递增，当 时， ，即 ，函
数 单调递减，
于是得 有最大值， ，
依题意有 ，又 ，
所以 的最小整数值是 1．
选择②：
不等式 ，即 ，设 ，依题意，存在 ，
，
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