《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第9讲 函数与数列不等式的证明（原卷版）

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第9讲 函数与数列不等式的证明
方法总结：
1.关于前 项和的放缩问题：求数列前 项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有
以下几种：
（1）倒序相加
（2）错位相减
（3）等比数列求和公式
（4）裂项相消
2.大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩
成可求和的通项公式。
3.在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往
提供了放缩数列的方向
4.放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂
项相消等）
5.数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若关于 的方程 有解，求实数 的最小值；
(3)证明不等式： .
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为常数）.
(1)若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明不等式 在 ， 上恒成立；
(3)证明 ， .（参考数据： ）
例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， .
(1)若函数 在定义域内单调递减，求 的取值范围；
(2)设 ，证明： （ 为自然对数的底数）.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 图象经过坐标原点，其导函数为 ，
数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上；又 ， ，且
，对任意 都成立.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)求证：
① ；
②.
例5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)当 时：
① 解关于 的不等式 ；
② 证明： ；
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