《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第9讲 函数与数列不等式的证明（解析版）

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第9讲 函数与数列不等式的证明
方法总结：
1.关于前 项和的放缩问题：求数列前 项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法
有以下几种：
（1）倒序相加
（2）错位相减
（3）等比数列求和公式
（4）裂项相消
2.大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩
成可求和的通项公式。
3.在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往
提供了放缩数列的方向
4.放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂
项相消等）
5.数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若关于 的方程 有解，求实数 的最小值；
(3)证明不等式： .
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为 .
(2)0.
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数的单调性；
（2）求得函数 的解析式，并对 求导函数，分析其导函数的符号，得出函数 的单调性和最
值，从而求得答案；
（3）由（2）得 在 上恒成立，令 ，则有 ，运用
累加法可得证.
(1)
解： ， ， 由 得 ，
当 时， .
函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
(2)
解：函数 ， ，
，令 ，得 .
时， ， 时， ，
在 递减，在 递增， ，
关于 的方程 有解，则实数 的最小值为 0.
(3)
证明：由（2）得 在 上恒成立，
令 ，则有 ，
， ， ， ， ，
，
.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为常数）.
(1)若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围；
(2)当 时，证明不等式 在 ， 上恒成立；
(3)证明 ， .（参考数据： ）
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将原方程化为 .分离参数得 .令.求导函数，分析导函数的符号得
所令函数的单调性和值域，从而求得答案；
（2）将不等式 转化为 .令.运用导函数求出 的最小值，即可得证；
不等式 化为 .令 ，运用导函数求出 最大值，从而不等式可得证；
（3）由已知得 ，由（2）得， ，即
，由此可得证.
(1)
解： ， ，
方程 可化为 .即.
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