《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第7讲 极值与最值问题（解析版）

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第7讲 极值与最值问题
方法总结：
1.求极值点的步骤：
（1）筛选： 令 求出 的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否
则不是极值点
（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值
点
2.在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的
分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就
是求函数单调区间的过程。
3.对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问
题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。
4.极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若 为奇函数，则当 是 的极大（极小）值点时， 为 的极小（极大）
值点
（2）若 为偶函数，则当 是 的极大（极小）值点时， 为 的极大（极小）
值点
5.利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数
f(x)
在
[
a , b
]
上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求
f(x)
在 内的极值；
（2）将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值，得出函数
f(x)
在
[
a , b
]
上的最值
6.求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础
7.最值点的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求 的最小值；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）求出原函数的定义域，再求出原函数的导函数，由导函数大于 0求得原函数的增区间，由导函数小于
0求得原函数的减区间，从而得到函数的最小值；
（2）由（1）求得函数 的最小值，再由导数求得函数 的最大值，则结论得证；
（3）由 分离变量 ，利用导数可得 ，则 ．设 ．求
导求其最小值，则 的最小值可求．
(1)
解： 的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值是 ；
(2)
证明： ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
由（1） ，
故 ；
(3)
解： ，即 ．
，
令 ， ，
若 ，则 ， 为增函数，无最大值；
若 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上为增函数，在 上为减函数，
．
，
．
设 ．
则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ．
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