《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题16 数列的奇偶项讨论问题(解析版)

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专题 16　数列的奇偶项讨论问题
【基本知识】
数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
(2)通项公式分奇、偶项有不同表达式；
(3)含有(－1)n的类型；
(4)已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题．
考点一　an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型
【基本题型】
[例1]　已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＋an＝4n．
(1)求数列{an}的前 100 项和 S100；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析　(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10 000．
(2)由题意，an＋1＋an＝4n，①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以 a2＝3．
当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1，当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1．
综上所述，an＝2n－1．
[例2]　在数列{an}中，已知 a1＝1，an·an＋1＝n，记 Sn为{an}的前 n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*．
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn．
解析　(1)因为 an·an＋1＝n，所以 an＋1·an＋2＝n＋1，所以＝，即 an＋2＝an．
因为 bn＝a2n＋a2n－1，所以＝＝＝，
所以数列{bn}是公比为的等比数列．
因为 a1＝1，a1·a2＝，所以 a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以 bn＝×n－1＝，n∈N*．
(2)由(1)可知 an＋2＝an，所以 a1，a3，a5，…是以 a1＝1为首项，为公比的等比数列；
a2，a4，a6，…是以 a2＝为首项，为公比的等比数列，所以 a2n－1＝n－1，a2n＝n，
所以 an＝
(3)因为 S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，
又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－，所以 Sn＝
【对点精练】
1．已知数列{an}满足 an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求 a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前 n项和 Sn．
1．解析　(1)若数列{an}是等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．
由an＋1＋an＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，
即2d＝4，2a1－d＝－3，解得 d＝2，a1＝－．
(2)由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得 an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)．
两式相减，得 an＋2－an＝4．所以数列{a2n－1}是首项为 a1，公差为 4的等差数列．
数列{a2n}是首项为 a2，公差为 4的等差数列，由 a2＋a1＝1，a1＝2，得 a2＝－1，
所以 an＝
①当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－2＋an－1)＋an
＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝；
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝．
∴Sn＝
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝pn＋1，其中 p为常数．
(1)若a1，a2，a4成等比数列，求 p的值；
(2)若p＝1，求数列{an}的前 n项和 Sn．
2．解析　(1)由an＋an＋1＝pn＋1，得a1＋a2＝p＋1，a2＋a3＝2p＋1，a3＋a4＝3p＋1，
所以 a2＝p，a3＝p＋1，a4＝2p．
又因为 a1，a2，a4成等比数列，所以 a＝a1a4，即p2＝2p，又因为 p≠0，所以 p＝2．
(2)当p＝1时，an－1＋an＝n(n>1，n∈N)，
当n为偶数时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4＋…＋n＝＝；
当n为奇数时，
Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3＋5＋…＋n＝＝，
综上，Sn＝
3．已知数列{an}满足 a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*.
(1)若函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，0<φ<π)在x＝处取得最大值 a4＋1，求函数 f(x)在区间上的值域；
(2)求数列{an}的通项公式．
3．解析　(1)因为 anan＋1＝2n，所以 an＋1an＋2＝2n＋1，所以＝2，
又因为 a1＝1，所以 a1a2＝21，即 a2＝2，所以 a3＝2，a4＝4，所以 A＝a4＋1＝5，
所以 f(x)＝5sin(2x＋φ)．又因为 x＝时，f(x)＝5，所以 sin＝1，且 0<φ<π，所以 φ＝，
所以 f(x)＝5sin．
又因为 x∈，所以 2x＋∈，所以 sin∈，
所以函数 f(x)在上的值域为.
(2)由(1)得a1＝1，a2＝2，＝2，
所以当 n为奇数时，an＝a1·2 ＝2；
当n为偶数时，an＝a2·2 ＝2
．
所以数列{an}的通项公式为 an＝
考点三　an＝类型
【基本题型】
[例3]　(2021·新高考Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出 b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前 20 项和．
解析　(1)因为 bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以 b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5．
因为 bn＝a2n，所以 bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以 bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以 2为首项，3为公差的等差数列，
所以 bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*．
(2)因为 an＋1＝
所以 k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①，a2k＋1＝a2k＋2，②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以 1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以 2为首项，3为公差的等差数列．
所以数列{an}的前 20 项和
S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300．
[例4]　(2020·天津)已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－
b3)．
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