《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题15 分组转化法求和(原卷版)

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专题 15　分组转化法求和
【基本知识】
分组转化法求和
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的
数列，先分别求和，然后再合并．
1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{an}的前 n项
和．
2．通项公式为 an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组
求和法求和．
考点一　选填题
【基本题型】
[例1] (1)若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n项和为(　　)
A．2n＋n2－1　　　　B．2n＋1＋n2－1　　　　C．2n＋1＋n2－2　　　　D．2n＋n－2
答案　C　解析　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n
－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2．
(2)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前 20 项和为(　　)
A．1 121　　　　　　　　B．1 122　　　　　　　　C．1 123　　　　　　　　D．1 124
答案　C　解析　由题意可知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为
1，公差为 2的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为＋10×1＋×2＝1 123．故选 C．
(3)若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a12＝(　　)
A．18　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．－18　　　　　　　　D．－15
答案　A　解析　记bn＝3n－2，则数列{bn}是以 1为首项，3为公差的等差数列，所以 a1＋a2＋…＋
a11＋a12＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18．
(4)已知数列{an}的通项公式为 an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积 a1·a2·a3·…·an为整数的 n叫做
“优数”，则在(0，2 018]内的所有“优数”的和为(　　)
A．1 024　　　　　　　　B．2 012　　　　　　　　C．2 026　　　　　　　　D．2 036
答案　C　解析　a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，令0<n＝2k－
2≤2 018，则 2<2k≤2 020，1<k≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝－18＝211－22＝2
026．故选 C．
【对点精练】
1．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－3n，则其前 20 项和为(　　)
A．380－　　　　B．400－　　　　C．420－　　　　D．440－
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前 n项和，则 S2 020＝(　　)
A．22 020－1　　　　B．3×21 010－3　　　　C．3×21 010－1　　　　D．3×22 020－2
3．已知函数 f(n)＝且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100 等于(　　)
A．0　　　　　　　　B．100　　　　　　　　C．－100　　　　　　　　D．10 200
4．已知函数 f(n)＝n2cos(nπ)，且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________．
5．已知公比不为 1的等比数列{an}的前 5项积为 243，且 2a3为3a2和a4的等差中项．若数列{bn}满足 bn
＝log3an＋2(n∈N*)，则数列{an＋bn}的前 n项和 Sn＝________．
6．1＋＋1＋＋＋…＋的值为(　　)
A．18＋　　　　　　B．20＋　　　　　　C．22＋　　　　　　D．18＋
考点二　解答题
1.等差(等比)＋等比(等差)模型
【基本题型】
[例2]　已知数列{an}为等差数列，其中 a5＝3a2，a2＋a3＝8．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第 bn项记为 cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前 n项
和．
解析　(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意有解得 a1＝1，d＝2，
从而{an}的通项公式为 an＝2n－1，n∈N*．
(2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3，从而等比数列{cn}的公比为 3，因此 cn＝1×3n－1＝3n－1．
另一方面，cn＝abn＝2bn－1，所以 2bn－1＝3n－1，因此 bn＝．
记{bn}的前 n项和为 Sn，则 Sn＝＝．
[例3]　已知等差数列{an}满足 a5＝9，a2＋a6＝14．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前 n项和 Sn．
解析　(1)设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则由 a5＝9，a2＋a6 ＝14 得解得
所以{an}的通项公式 an＝2n－1．
(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1．
当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋；
当q＝1时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．
所以数列{bn}的前 n项和 Sn＝
[例4]　已知递增等比数列{an}的前三项之积为 8，且这三项分别加上 1，2，2后又成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an＋2n，求数列{bn}的前 n项和 Tn．
解析　(1)设等比数列前三项分别为 a1，a2，a3，公比为 q，则 a1＋1，a2＋2，a3＋2成等差数列．
依题意得即
解得或(舍去)．∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．
(2)由bn＝an＋2n，得 bn＝2n－1＋2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋2×(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋2×＝2n＋n2＋n－1．
[例5]　设{an}是公比大于 1的等比数列，Sn为其前 n项和，已知 S3＝7，a1＋3，3a2，a3＋4构成等差
数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an＋ln an，求数列{bn}的前 n项和 Tn．
解析　(1)设数列{an}的公比为 q(q>1)．由已知，得
即由 q>1，解得故数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．
(2)由(1)得bn＝2n－1＋(n－1)ln 2，
所以 Tn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2＝＋ln 2＝2n－1＋ln 2．
[例6]　已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n项和为 Tn．若 a1＝b1＝3，a4＝b2，S4
－T2＝12．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{an＋bn}的前 n项和．
解析　(1)由a1＝b1，a4＝b2，则 S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12，
设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，所以 d＝2．
所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
设等比数列{bn}的公比为 q，由题意知 b2＝a4＝9，即 b2＝b1q＝3q＝9，所以 q＝3．所以 bn＝3n．
(2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n，
所以{an＋bn}的前 n项和为
(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)
＝＋＝n(n＋2)＋．
[例7]　已知数列{an}的前 n项和 Sn＝，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n项和．
解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n．
a1也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n．
(2)由(1)知an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn．记数列{bn}的前 2n项和为 T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n．
故数列{bn}的前 2n项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2．
[例8]　设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．
(1)求通项公式 an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前 n项和．
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