《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题12 等差、等比数列的综合应用(原卷版)

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专题 12　等差、等比数列的综合应用
【基本方法】
等差、等比数列综合问题的求解策略
(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本
量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．
(2)数列的通项或前 n项和可以看作关于 n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．
考点一　选填题
【基本题型】
[例1](1)已知数列{an}是等差数列，若 a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为 q的等比数列，则 q＝(
)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2
答案　C　解析　依题意，得 2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即 2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，所以 a1
－1，a3－3，a5－5成等差数列．又 a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为 q的等比数列，因此有 a1－1＝a3
－3＝a5－5，q＝＝1．
(2)已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，且 S3，S9，S6成等差数列，a3＋a6＝2，则 a9＝________．
答案　1　解析　设等比数列{an}的公比为 q，因为 Sn是等比数列{an}的前 n项和，且 S3，S9，S6成等
差数列，所以 2S9＝S3＋S6，显然 q＝1不满足此式，所以 q≠1，所以＝＋，整理得 1＋q3＝2q6，即(2q3＋
1)(q3－1)＝0，解得 q3＝－．又 a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1q2(1＋q3)＝a1q2＝2，所以 a1q2＝4，所以 a9＝a1q8＝
a1q2·q6＝4×＝1．
(3)(2017·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．
答案　1　解析　{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3
＝2．{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，则＝＝1．
(4)已知数列 1，a1，a2，9是等差数列，数列 1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　因为 1，a1，a2，9是等差数列，所以 a1＋a2＝1＋9＝10．又 1，b1，b2，b3，9是等比
数列，所以 b＝1×9＝9，因为 b＝b2＞0，所以 b2＝3，所以＝．
(5)等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．
答案　－1　解析　设{an}的公比为 q．由题意得 a1＋2a2＝a3，则 a1(1＋2q)＝a1q2，q2－2q－1＝0，所
以q＝1＋(舍负)．则＝＝－1．
(6)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若 a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则 tan 的值
为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
答案　A　解析　依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，所以＝＝－，故 tan ＝tan ＝tan ＝－
tan＝－．
(7)各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且 a1
＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝　解析　由题设可得 an＋1＝，an＝，得2bn＝an＋an＋1⇒2bn＝＋，即2＝＋，又a1＝1，a2＝
3⇒2b1＝4⇒b1＝2，则{}是首项为的等差数列．由已知得 b2＝＝，则数列{}的公差 d＝－＝－＝，所以＝
＋(n－1)·＝，即＝．当 n＝1时，＝，当n≥2 时，＝，则an＝＝，a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公
式为 an＝．
(8)(2020·江苏)设{an}是公差为 d的等差数列，{bn}是公比为 q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前 n
项和 Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则 d＋q的值是________．
答案　4　解析　等差数列{an}的前 n项和公式为 Pn＝na1＋d＝n2＋n，等比数列{bn}的前 n项和公式
为Qn＝＝－qn＋，依题意 Sn＝Pn＋Qn，即n2－n＋2n－1＝n2＋n－qn＋，通过对比系数可知得故 d＋q＝4．
(9)(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0．若 a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和
为(　　)
A．－24　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．8
答案　A　解析　设{an}的公差为 d，根据题意得 a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得 d＝－
2，所以数列{an}的前 6项和为 S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24．
(10)设Sn为公比 q≠1的等比数列{an}的前 n项和，且 3a1，2a2，a3成等差数列，则 q＝_____，＝
______．
答案　3　10　解析　设等比数列的通项公式 an＝a1qn－1，又因为 3a1，2a2，a3成等差数列，所以 2×2a2
＝3a1＋a3，即 4a1q＝3a1＋a1q2，解得 q＝3或q＝1(舍)，＝＝＝10．
(11)公比不为 1的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，
则m＝(　　)
A．
　　　　　　　　
B．
　　　　　　　　
C．1
　　　　　　　　
D．
答案　D　解析　设{an}的公比为 q(q≠0 且q≠1)，根据 a1，a3，a2成等差数列，得 2a3＝a1`＋a2，即
2a1q2＝a1＋a1q，因为 a1≠0，所以 2q2－1－q＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0．因为 q≠1，所以 q＝－，则S2＝＝
·，S3＝＝·，S4＝＝·，因为 mS2，S3，S4成等比数列，所以 S＝mS2·S4，即＝m····，因为 a1≠0，所以≠0，
所以＝m××，得m＝，故选 D．
(12)在公差 d＜0的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1，2a2＋2，5a3成等比数列，则|a1|＋|a2|＋|a3|
＋…＋|an|＝________．
答案　　解析　由已知可得(2a2＋2)2＝5a1a3，即 4(a1＋d＋1)2＝5a1·(a1＋2d)，所以(11＋d)2＝25(5＋
d)，解得 d＝4(舍去)或d＝－1，所以 an＝11－n．当 1≤n≤11 时 ，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋
a2＋a3＋…＋an＝＝；当 n≥12 时，an＜0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…
＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2×－＝．综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
(13)已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且 a1＝b1，a11＝b11．那么一定有(　　)
A．a6≤b6　　　　　　　　B．a6≥b6　　　　　　　　C．a12≤b12　　　　　　　　D．a12≥b12
答案　B　解析　因为等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且 a1＝b1，a11＝b11，所以 a1＋
a11＝b1＋b11＝2a6，所以 a6＝＝≥＝b6．当且仅当 b1＝b11 时，取等号，此时数列{bn}的公比为 1．
(14)已知正项数列{an}满足 a－2a－an＋1an＝0，设 bn＝log2，则数列{bn}的前 n项和为(　　)
A．n
　　　　　　
B．　　　　　　C．　　　　　D．
答案　C　解析　由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又 an>0，∴＝2，∴an＋1＝
a1·2n．∴bn＝log2＝log22n＝n，∴数列{bn}的前 n项和为，故选 C．
(15)已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列．若 a1＝1，Sn是数列{an}的前 n项和，
则(n∈N*)的最小值为(　　)
A．4
　　　　　　　　
B．3
　　　　　　　　
C．2－2
　　　　　　　　
D．
答案　A　解析　由题意 a1，a3，a13 成等比数列，得(1＋2d)2＝1＋12d，解得 d＝2．故 an＝2n－1，Sn
＝n2．因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当 n＝2时取得最小值 4．
【对点精练】
1．等差数列{an}的公差为 d，若 a1＋1，a2＋1，a4＋1成以 d为公比的等比数列，则 d＝(　　)
A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5
2．设等比数列{an}的前 n项和为 Sn
．
若S3，S9，S6成等差数列，且 a8＝3，则 a5的值为________．
3．若等差数列{an}的公差 d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
4．已知 Sn是公差不为 0的等差数列的前 n项和，且 S1，S2，S4成等比数列，则的值为(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
5．已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，a5，a4成等差数列，则的值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列，的前 n项和分别为 Sn，Tn．若 a5＝
b5，a6＝b6，且 S7－S5＝4(T6－T4)，则＝________．
7．已知等差数列{an}的首项和公差均不为 0，且满足 a2，a5，a7成等比数列，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．已知数列{an}为等差数列，首项 a1＝1，公差 d≠0，若 ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，且 k1
＝1，k2＝2，k3＝5，则数列{kn}的通项公式 kn＝________．
9．若 a，b是函数 f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且 a，b，－2这三个数可适当排序后
成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p＋q的值为(　　)
A．6　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．9
10．已知等差数列{an}的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前 n项和，则 S9等于(　　)
A．－8　　　　　　　　B．－6　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．0
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