《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题26　极值点偏移之其他型不等式的证明（解析版)

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专题 26　极值点偏移之其他型不等式的证明
【例题选讲】
[例1]　已知函数 g(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x(a∈R)．
(1)求g(x)的单调区间；
(2)若函数 f(x)＝
g
(x)＋(a＋1)x2－2x，x1，x2(0＜x1＜x2)是函数 f(x)的两个零点，证明：f′<0．
思维引导　(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 f′<0，只需证明－<0 ，即证明
，即证明 ，再令 ，构造函数 ，
利用导数研究函数 单调性，确定其最值： 在 上递增，所以 ，即可证得结论．
解析　(1)函数 g(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－，
①当a≤0 时，g ′(x)>0，则 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a>0 时，若 x∈，则 g ′(x)>0，若 x∈，则 g ′(x)<0，
则g(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)因为 x1，x2是f (x)＝lnx＋ax2－ax 的两个零点，
所以 lnx1＋ax－ax1＝0，ln x2＋ax－ax2＝0，所以 a＝＋(x2＋x1)，又 f ′(x)＝＋2x－a，
所以 f′＝＋(x1＋x2)－a＝－，
所以要证 f′<0，只须证明－<0，
即证明>lnx1－lnx2，即证明
令 ，则 ，则 ， ．
∴在 上递减， ，∴在 上递增， ．
所以 成立，即 ．
[例2]　已知函数 f(x)＝x2＋ax＋blnx，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝2x．
(1)求实数 a，b的值；
(2)设F(x)＝f(x)－x2＋mx(m∈R)，x1，x2 (0＜x1＜x2)分别是函数 F(x)的两个零点，求证：F()＜0(F(x)
为函数 F(x)的导函数)．
解析　(1) a＝1，b＝－1；
(2)
 
2lnf x x x x  
，
 
1 lnF x m x x 
，
 
1
1F x m x
 
，因为
1 2
, x x
分别是函数
 
F x
的两个零
点，所以
 
 
1 1
2 2
1 ln
1 ln
m x x
m x x
 
 
，两式相减，得
1 2
1 2
ln ln
1x x
mx x
 
，
，
要证明
 
1 2
0F x x
，只需证
1 2
1 2 1 2
ln ln 1x x
x x x x
．
思维引导 1　因为
1 2
0x x 
，只需证
1 2 1 1
1 2
2 2
1 2 1
2
1
ln ln ln 0
x x x x
x x x x
x x x
x
 
．令
 
1
2
0,1
x
tx
 
，
即证
1
2ln 0t t t
 
，令
 
1
2ln 0 1h t t t t
t
 
，则
   
2
2 2
1
2 1
1 0
t
h t t t t
 
，所以函数
 
h t
在
 
0, 1
上单调递减，
   
1 0h t h 
，即证
1
2ln 0t t t
 
，由上述分析可知
 
1 2
0F x x
．
总结提升　这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把
1 2
, x x
转化为
t
的函数，常把
1 2
, x x
的关系
变形为齐次式，设
1 2
1 1
1 2
2 2
, ln , , x x
x x
t t t x x t e
x x
 
等，构造函数来解决，可称之对称化构造函数法．
思维引导 2　因为
1 2
0x x 
，只需证
1 2
1 2
1 2
ln ln 0
x x
x x x x
 
，设 ，
则 ， 所 以 函 数
 
Q x
在
 
2
0, x
上单调递减，
 
2
0Q x Q x 
，即证
2
2
2
ln ln x x
x x x x
 
．由上述分析可知
 
1 2
0F x x
．
总结提升　极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于
1
x
（或
2
x
）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此
乃主元法．
思维引导 3　要证明
 
1 2
0F x x
，只需证
1 2
1 2 1 2
ln ln 1x x
x x x x
，即证
1 2
1 2
1 2
ln ln
x x x x
x x
，由对数平均
数易得．
总结提升　极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数
式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法．
[例3]　已知函数 ．
(1)若 ，使得 恒成立，求 的取值范围．
(2)设 ， 为函数 图象上不同的两点， 的中点为 ， 求证：<f(x0)．
解析　(1) 恒成立，即 恒成立，
令 ， ，
由于 ，则 在 单调递减，在 单调递增，
故 ，解得 ．
(2)因为 为 的中点，则 ，
故 ，
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