《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题21　双变量不含参不等式证明方法之换元法（原卷版)

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专题 21　双变量不含参不等式证明方法之换元法
【方法总结】
双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数．
整体换元法：若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将
两个变量转化为一个变量．若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整
体（比如 ， ， ， )等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为一元不等式．
[例1]　已知函数 f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋3y＝0垂直．
(1)求实数 a的值；
(2)求证：当 n＞m＞0时，lnn－lnm＞－．
解析　(1)因为 f(x)＝ax2＋xln x，所以 f′(x)＝2ax＋ln x＋1，
因为切线与直线 x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为 3，所以 f′(1)＝3，即 2a＋1＝3，故 a＝1．
(2)要证 lnn－lnm＞－，即证 ln＞－，只需证 ln－＋＞0．
令＝x，构造函数 g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，则 g′(x)＝＋＋1．
因为 x∈[1，＋∞)，所以 g′(x)＝＋＋1＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
由已知 n＞m＞0，得＞1，所以 g＞g(1)＝0，即证得 ln－＋＞0成立，所以命题得证．
总结提升　对“待证不等式”等价变形为“ln－＋＞0”后，观察可知，对“”进行换元，变为“lnx
－＋x＞0”，构造函数“g(x)＝ln x－＋x(x≥1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算．
[例2]　已知函数 f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．
(1)若函数 f(x)，g(x)在区间(0，1)上均单调且单调性相反，求实数 m的取值范围；
(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．
解析　(1)f′(x)＝－＝＞0，所以 f(x)在(0，1)上单调递增．
由已知 f(x)，g(x)在(0，1)上均单调且单调性相反，得 g(x)在(0，1)上单调递减．
所以 g′(x)＝ln x＋1－2mx≤0 在(0，1)上恒成立，即 2m≥，
令φ(x)＝(x∈(0，1))，φ′(x)＝＞0，所以 φ(x)在(0，1)上单调递增，φ(x)＜φ(1)＝1，
所以 2m≥1，即 m≥．
(2)由(1)f(x)＝lnx－在(0，1)上单调递增，f(x)＝ln x－＜f(1)＝0，即 ln x＜，
令x＝∈(0，1)得ln＜＝，∵ln＜0，∴＜．
在(1)中，令 m＝，由 g(x)在(0，1)上均单调递减得 g(x)＞g(1)＝0，
所以 xln x－(x2－1)＞0，即 ln x＞，
取x＝∈(0，1)得ln＞，即 ln a－ln b＞，
由lna－lnb＜0得：＜，综上：＜＜．
总结提升　两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
[例3]　已知 ，其中 图像在 处的切线平行于 轴．
(1)确定 与 的关系；
(2)设斜率为 的直线与 的图像交于 ，求证： ．
思维引导　(2) ，所证不等式为 即 ，
进而可将 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式．
解析　(1) ， ，
依题意可得： ．
(2)依题意得 ，故所证不等式等价于：
．
令 ，则只需证： ．
先证右边不等式： ，
令 ， ， 在 单调递减， ．
即 ．对于左边不等式： ．
令 ，则 ， 在 单调递增， ．
总结提升
(1)在证明不等式 时，由于 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所
以考虑构造表达式 ：使得不等式以 为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元
不等式．
(2)所证不等式为轮换对称式时，若 独立取值，可对 定序，从而增加一个可操作的条件．
[例4]　已知函数 ．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)设 ，且 ，证明： ．
思维引导　所证不等式等价于证 ，轮换对称式可设 ，进而对不等
式进行变形，在考虑能否换元减少变量．
解析　(1)定义域为 ， ，令 ，解得： ．
∴的单调增区间是 ，单调减区间是 ，
的极小值为 ，无极大值．
(2)不妨设 ， ．
，（由于定序 ，去分母避免了分类讨论）
，（观察两边同时除以 ，即可构造出关于 的不等式）
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