《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题20 单变量含参不等式证明方法之合理消参(原卷版)

3.0 envi 2025-03-07 20 4 235.39KB 8 页 3知币

侵权投诉

专题 20　单变量含参不等式证明方法之合理消参

【例题选讲】

[例1] (2018·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝aex－lnx－1．

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；

(2)证明：当 a≥时，f(x)≥0．

解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－．由题设知，f′(2)＝0，所以 a＝．

从而 f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－．当 0＜x＜2时，f′(x)＜0；当 x＞2时，f′(x)＞0．

所以 f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．

(2)证明：当 a≥时，f(x)≥－ln x－1．设 g(x)＝－ln x－1，则 g′(x)＝－．

当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当 x＞1时，g′(x)＞0．所以 x＝1是g(x)的最小值点．

故当 x＞0时，g(x)≥g(1)＝0．因此，当 a≥时，f(x)≥0．

[例2]　设a为实数，函数 f (x)＝ex－2x＋2a，x∈R．

(1)求f (x)的单调区间与极值；

(2)求证：当 a>ln2－1且x>0 时，ex>x2－2ax＋1．

解析　(1)由f (x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知 f ′(x)＝ex－2．令 f ′(x)＝0，得 x＝ln 2．

当x<ln 2 时，f ′(x)<0，故函数 f (x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减；

当x>ln 2 时，f ′(x)>0，故函数 f (x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增．

所以 f (x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，

f (x)在x＝ln 2 处取得极小值 f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值．

(2)证明：要证当 a>ln 2－1且x>0 时，ex>x2－2ax＋1，即证当 a>ln 2－1且x>0 时，ex－x2＋2ax－

1>0．

设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则 g′(x)＝ex－2x＋2a，

由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a．又 a>ln 2－1，则 g′(x)min>0．

于是对∀x∈R，都有 g′(x)>0，所以 g(x)在R上单调递增．

于是对∀x>0，都有 g(x)>g(0)＝0．即 ex－x2＋2ax－1>0，故 ex>x2－2ax＋1．

[例3]　设函数 f(x)＝e2x－aln x．

(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；

(2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln．

解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．

当a≤0 时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当 a>0 时，设 u(x)＝e2x，v(x)＝－，

因为 u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－

在(0，＋∞)上单调递增，所以 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又当 x→0 时，f′(x) →－∞，当 x→＋∞时．f′(x)→＋∞．

故当 a>0 时，f′(x)存在唯一零点．

(2)由(1)，可设 f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0，当 x∈(0，x0)时，f′(x)<0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0．故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

所以当 x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0)．

由于－＝0，所以 f(x0)＝－aln x0＝＋2ax0－2ax0－aln x0＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln．

当且仅当 x0＝时，取等号．故当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln．

[例4]　已知函数，（为自然对数的底数）．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，不等式成立．

解析　(1)由题意知，当时，，解得，

又，，即曲线在点处的切线方程为．

(2)证明：当时，得，

要证明不等式成立，即证成立，

即证成立，即证成立，

令，，易知，，

由，知在上单调递增，上单调递减，，

所以成立，即原不等式成立．

【对点精练】

1．已知函数 f(x)＝(x＋b)(ex－a)(b>0)，在(－1，f(－1))处的切线方程为(e－1)x＋ey＋e－1＝0．

(1)求a，b；

(2)若m≤0，证明：f(x)≥mx2＋x．

2．已知 f(x)＝ln x－x＋a＋1．

(1)若存在 x∈(0，＋∞)，使得 f(x)≥0 成立，求实数 a的取值范围；

(2)求证：当 x＞1时，在(1)的条件下，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题20 单变量含参不等式证明方法之合理消参(原卷版).docx

共8页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题20 单变量含参不等式证明方法之合理消参(原卷版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: