《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题19 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(解析版)

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专题 19　单变量不含参不等式证明方法之切线放缩
如图，y＝x＋1是y＝ex在(0，1)处的切线，有 ex≥x＋1恒成立；y＝x－1是y＝lnx在(1，0)处的切线，
有lnx≤x－1恒成立．在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于 ex，lnx有关的常用不等式进行适当
的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果．
由ex≥x＋1引出的放缩：
①ex－1≥x(用x－1替换 x，切点横坐标是 x＝1)，通常表达为 ex≥ex．
②ex＋a≥x＋a＋1(用x＋a替换 x，切点横坐标是 x＝－a)，平移模型，找到切点是关键．
③xex≥x＋lnx＋1(用x＋lnx替换 x，切点横坐标满足 x＋lnx＝0)，常见的指对跨阶改头换面模型，切线
的方程是按照指数函数给予的．
④ex≥x2>x2(x>0)，通常有 (x>0)的构造模型．
x
y
1
图①
y
=
x
y
e
x
1
O
x
y
－
a
图②
y
=
x
+
a
+ 1
y
=
e
x
+
a
O
x
y
图③
y
=
x
+ ln
x
( )
+ 1
y
=
x
∙
e
x
O
x
y
2
y
=
x
2
图④
y
=
e
2
∙
x
2
4
y
=
e
x
O
由lnx≤x－1(也可以记为 lnex≤x，切点为(1，0))引出的放缩：
最常见的就是 ln(x＋1)≤x，由 lnx<x－1向左平移 1个单位长度来理解，或者将 ex≥x＋1两边取对数而
来．
①lnx≤，表示过原点的 f(x)＝lnx的切线为 y＝．
②lnx≥1－，或者记为 xlnx≥x－1．
③lnx≤x2－x(由lnx≤x－1及x－1≤x2－x，切点横坐标是 x＝1)，或者记为≤x－1．
④lnx≤(x2－1)，即在点(1，0)处三曲线相切．
x
y
y
=
x
e
e
图①
y
= ln
x
( )
O
x
y
y
= 1
1
x
1
图②
y
= ln
x
( )
O
x
y
y
=
x
2
x
1
图③
y
= ln
x
( )
O
x
y
y
=
x
1
y
=
1
2
∙
x
2
1
(
)
1
图④
y
= ln
x
( )
O
【例题选讲】
[例1]　求证：当 x>0 时，不等式 2－lnx＋>0 恒成立．
【思维引导】
由常用不等式 ex≥x＋1，得 ≥x－，即 2 ≥2x－3，于是可得到这道题的解题思路．
解析　令f(x)＝2－2x＋3(x>0)，则 f′(x)＝2－2(x>0)，
由f′＝0，可知 f(x)在上是减函数，在上是增函数，
所以 f(x)≥f＝0，所以 2 ≥2x－3　　　　　①．
令g(x)＝2x－3－lnx＋(x>0)，则 g′(x)＝2－－＝(x>0)，
易知 g(x)在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以 g(x)≥g(1)＝0，
所以 2x－3≥lnx－(当且仅当 x＝1时等号成立)　　　　　②．
因为①和②中的等号不能同时成立，所以由①和②，得 2 >lnx－，所以 2－lnx＋>0．
x
y
y
= ln
x
( )
1
x
y
= 2
∙
x
3
y
= 2
∙
e
x
5
2
O
[例2]　已知函数 为自然对数的底数）．
(1)求函数 的最小值；
(2)若 ，证明： ．
解析　(1) ， ，令 ，得 ．
当 时， ，当 时， ． 函数 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增． 当 时， 有最小值 1．
(2)由(1)知，对任意实数 均有 ，即 ．令 ， ，2， ，
则 ， ．
即 ． ，
．
，
．
[例3]　已知函数 f(x)＝lnx－x＋1．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)求证：当 x∈(1，＋∞)时，1<<x；
【思维引导】
对数切线放缩
(1)利用导数研究函数单调性
(2)将不等式进行变形
进行对数切线放缩
换元，用 替换x
1
x
解析　(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，由 f′(x)＝－1＝(x>0)，
可知 f(x)的单调增区间是(0，1]，单调减区间是[1，＋∞)．
(2)由(1)可知，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝0(当且仅当 x＝1时，等号成立)，
所以当 x>0 且x≠1 时，有 f(x)<0，即 lnx<x－1，
故当 x∈(1，＋∞)时，有故 1<<x．
[例4]　已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ；
(3)求证：对任意的 且 ，都有： ．(其中 为自
然对数的底数)．
解析　(1)函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
②当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增．
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
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