《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题(原卷版)

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专题 16　导数中有关 x与ex，lnx的组合函数问题
在函数的综合问题中，常以 x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与
性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数
的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合
等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
六大经典超越函数的图象
函
数
f(x)＝xexf(x)＝f(x)＝
图
象
x
y
－
１
e
－1
O
y
e
1
O
x
y
１
e
1
O
函
数
f(x)＝xlnx f(x)＝f(x)＝
图
象
x
y
O
x
y
e
O
x
y
e
e
1
O
考点一　x与lnx的组合函数问题
(1)熟悉函数 f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为 0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特
殊函数的图象“有形可寻”．
(2)熟悉函数 f(x)＝(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为 0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个
特殊函数的图象“有形可寻”．
【例题选讲】
[例1]　设函数 f(x)＝xlnx－＋a－x(a∈R)．
(1)若函数 f(x)有两个不同的极值点，求实数 a的取值范围；
(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当 x＞2时不等式 k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求 k的最大值．
分析　　(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解； (2)将不等式恒
成立问题转化为函数的最值问题进行求解．
解析　(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－ax－1＝ln x－ax，
令f′(x)＝0，可得 a＝，
令h(x)＝(x＞0)，则由题可知直线 y＝a与函数 h(x)的图象有两个不同的交点，
h′(x)＝，令 h′(x)＝0，得 x＝e，可知 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
h(x)max＝h(e)＝，当 x→0 时，h(x)→－∞，当 x→＋∞时，h(x)→0，故实数 a的取值范围为．
(2)当a＝2时，f(x)＝xln x－x2＋2－x，k(x－2)＋g(x)＜f(x)，
即k(x－2)＋2－2x－x2＜xlnx－x2＋2－x，整理得 k(x－2)＜xlnx＋x，
因为 x＞2，所以 k＜．设 F(x)＝(x＞2)，则 F′(x)＝．
令m(x)＝x－4－2ln x(x＞2)，则 m′(x)＝1－＞0，所以 m(x)在(2，＋∞)上单调递增，
m(8)＝4－2ln 8＜4－2ln e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln10＞6－2ln e3＝6－6＝0，
所以函数 m(x)在(8，10)上有唯一的零点 x0，
即x0－4－2ln x0＝0，故当 2＜x＜x0时，m(x)＜0，即 F′(x)＜0，当 x＞x0时，F′(x)＞0，
所以 F(x)min＝F(x0)＝＝＝，所以 k＜，
因为 x0∈(8，10)，所以∈(4，5)，故 k的最大值为 4．
点评　1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已
知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有
分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题
进行求解．
2．对于有关 x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，
能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求
合理的证明和解不等式的策略．
【对点训练】
1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a<b<c
　　　　　
B．c<b<a
　　　　　
C．c<a<b
　　　　　
D．b<a<c
2．已知 a>b>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)b<e；(2)b>e；(3)存在 a，b满足 a·b<e2；(4)存在 a，b满足
a·b>e2，则正确结论的序号是(　　)
A．(1)(3)　　　　　　B．(2)(3)　　　　　　C．(1)(4)　　　　　　D．(2)(4)
3．设x，y，z为正数，且 2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z
　　　　　
B．5z<2x<3y
　　　　　
C．3y<5z<2x
　　　　　
D．3y<2x<5z
4．下列四个命题：①ln 5<ln 2；②ln π>；③<11；④3eln 2>4．其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
5．已知函数 f(x)＝kx2－ln x，若 f(x)>0 在函数定义域内恒成立，则 k的取值范围是(　　)
A．　　　　B．　　　　　C．　　　　D．
6．已知 0<x1<x2<1，则(　　)
A．>　　　　B．<　　　　C．x2ln x1>x1ln x2　　　　　　　　D．x2ln x1<x1ln x2
7．已知函数 f(x)＝ax－，a∈R．
(1)若f(x)≥0，求 a的取值范围；
(2)若y＝f(x)的图象与直线 y＝a相切，求 a的值．
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